Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte Norm

Normalisierungslemma für normierte Algebren

In jeder normierten unitalen topologischen Algebra $(A,\Vert \cdot \Vert )$ mit Einselement der Multiplikation $e\in A$ gibt es zu der gegebenen Norm $\Vert \cdot \Vert :A\to ℝ$ eine weitere äquivalente Norm existiert, die $C$-submultiplikativ ist und die Norm vom Einselement den Wert $\Vert e\Vert =1$ besitzt.

Beweis - Normalisierungslemma

Es wird gezeigt, wie man in jeder normierten, unitalen, topologischen Algebra $(A,\Vert \cdot \Vert )$ zu einer gegebenen Norm $\Vert \cdot \Vert$ auf $A$ eine weitere äquivalente Norm $\Vert \cdot {\Vert }_1$ erzeugen kann, die $C$-submultiplikativ ist und die Norm vom Einselement den Wert $\Vert e{\Vert }_1=1$ besitzt.

Beweisstruktur

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte:

• Nachweis der Normiertheit für das Einselement $\Vert e{\Vert }_1=1$.
• Nachweis der $C$-Submultiplikativität
• Äquivalenz der Normen

Beweisschritt 9 - Definition der Norm für das Einselement

Man definiert nun die Norm $\Vert \cdot {\Vert }_1$ wie folgt als skalar gestreckte bzw. gestauchte Norm unmittelbar aus der gegebenen Norm $\Vert \cdot \Vert$ über:

$\Vert x{\Vert }_1:=\frac{1}{\Vert e\Vert }\cdot \Vert x\Vert$

Beweisschritt 2 - Normiertheit der Norm für das Einselement

Damit folgt direkt, dass die Norm $\Vert \cdot {\Vert }_1$ normiert für das Einselement $e\in A$ ist, denn es gilt:

$\Vert e{\Vert }_1:=\frac{1}{\Vert e\Vert }\cdot \Vert e\Vert =1$

Beweisschritt 3 - Stetigkeit der Multiplikation

Um zu zeigen, dass $\Vert \cdot \Vert$ als Norm $C$-submultiplikativ ist, muss man zeigen, dass ein $C>0$ existiert, mit $$\Vert x\cdot y\Vert \le C\cdot \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert .$$

Beweisschritt 4 - Stetigkeit der Multiplikation

Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man analog zum Topologisierungslemma

$${\mathrm{\forall }}_{U_{\alpha }\in 𝔘(0_{{}_A})}{\mathrm{\exists }}_{U_{\beta }\in 𝔘(0_{{}_A})}:U_{\beta }\cdot U_{\beta }=U_{\beta }^{{}^2}\subset U_{\alpha }$$

Beweisschritt 5 - Stetigkeit der Multiplikation

Da die Norm $\Vert \cdot \Vert$ topologieerzeugend ist, gilt die obige Aussage insbesondere für die $\epsilon$-Kugel $B_{\epsilon }(0_{{}_A})$ um den Nullvektor $0_A$ aus $A$ mit:

$U_{\alpha }:=B_{\epsilon }(0_{{}_A})=\{z\in A:\Vert x\Vert =\Vert x-0_{{}_A}\Vert <\epsilon \}.$

Beweisschritt 6 - Stetigkeit der Multiplikation

Mit dem aus Beweisschritt 3 erhaltenen $U_{\beta }$ wieder über die topologieerzeugende Norm $\Vert \cdot \Vert$ eine $\delta$-Kugel $B_{\delta }(0_{{}_A})$ um den Nullvektor $0_A$ mit:

$U_{\beta }\supseteq B_{\delta }(0_{{}_A})=\{z\in A:\Vert x\Vert =\Vert x-0_{{}_A}\Vert <\delta \}.$

Beweisschritt 7 - Stetigkeit der Multiplikation

Beweisschritt 5 und 6 zusammen liefern die Stetigkeit der Multiplikation in dem Nullvektor $0_A$ in einer $\epsilon$-$\delta$-Notation:

$${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}:B_{\delta }(0_{{}_A})\cdot B_{\delta }(0_{{}_A})=B_{\delta }(0_{{}_A}{)}^{{}^2}\subset B_{\epsilon }(0_{{}_A})$$

Die obige Aussage gilt insbesondere für $\epsilon =1$. Ohne Einschränkung sei ferner $\delta <1$ und es gilt:

$${\mathrm{\exists }}_{\delta >0}:B_{\delta }(0_{{}_A})\cdot B_{\delta }(0_{{}_A})=B_{\delta }(0_{{}_A}{)}^{{}^2}\subset B_1(0_{{}_A})$$

Beweisschritt 8 - Stetigkeit der Multiplikation

Für $\delta >0$ und beliebige ${\epsilon }_o>0$ gilt beliebige $x,y\in A$:

$x_{\delta }:=\delta \cdot \frac{x}{\Vert x\Vert +{\epsilon }_o}\in B_{\delta }(0_{{}_A})\text{ und }{y}_{\delta }:=\delta \cdot \frac{y}{\Vert y\Vert +{\epsilon }_o}\in B_{\delta }(0_{{}_A})$

Beweisschritt 9 - Stetigkeit der Multiplikation

Aus $x_{\delta }\in B_{\delta }(0_{{}_A})$ und $y_{\delta }\in B_{\delta }(0_{{}_A})$ folgt mit der Teilmengenbeziehung $B_{\delta }(0_{{}_A})\cdot B_{\delta }(0_{{}_A})\subseteq B_1(0_{{}_A})$ auch $\Vert x_{\delta }\cdot y_{\delta }\Vert <1$ und durch Einsetzen der Definition von $x_{\delta }$ und $y_{\delta }$ entsteht die folgende Ungleichung für beliebige ${\epsilon }_o>0$:

$\begin{array}{ccc}1& >& \Vert x_{\delta }\cdot y_{\delta }\Vert =\Vert {\delta }^2\cdot \frac{x\cdot y}{(\Vert x\Vert +{\epsilon }_o)\cdot (\Vert y\Vert +{\epsilon }_o)}\Vert \\ & =& \frac{{\delta }^2}{(\Vert x\Vert +{\epsilon }_o)\cdot (\Vert y\Vert +{\epsilon }_o)}\cdot \Vert x\cdot y\Vert \end{array}$

Beweisschritt 10 - Stetigkeit der Multiplikation

Durch Multiplikation mit der positiven Zahl $(\Vert x\Vert +{\epsilon }_o)\cdot (\Vert y\Vert +{\epsilon }_o)>0$ bleibt die Ungleichung erhalten und liefert: $${\delta }^2\cdot \Vert x\cdot y\Vert <(\Vert x\Vert +{\epsilon }_o)\cdot (\Vert y\Vert +{\epsilon }_o)$$ Da die obige Ungleichung folgt für alle ${\epsilon }_o>0$ gilt, kann man folgern: $${\delta }^2\cdot \Vert x\cdot y\Vert \le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$$

Beweisschritt 11 - C-Submultiplikativität

Mit $C:=\frac{\Vert e\Vert }{{\delta }^2}$ erhält man eine Stetigkeitskonstante der Multiplikation und damit die $C$-Submultiplikativität, denn es gilt folgenden Ungleichung: $$\begin{array}{ccc}\Vert x\cdot y{\Vert }_1& =& \frac{1}{\Vert e\Vert }\cdot \Vert x\cdot y\Vert \\ & \le & \underset{=C}{\underbrace{\frac{\Vert e\Vert }{{\delta }^2}}}\cdot \underset{=\Vert x{\Vert }_1}{\underbrace{\frac{1}{\Vert e\Vert }}}\cdot \Vert x\Vert \cdot \underset{=\Vert y{\Vert }_1}{\underbrace{\frac{1}{\Vert e\Vert }\cdot \Vert y\Vert }}& =& C\cdot \Vert x{\Vert }_1\cdot \Vert y{\Vert }_1\end{array}$$

Beweisschritt 12 - Äquivalenz der Normen

Um zu zeigen, dass $\Vert \cdot {\Vert }_1$ äquivalent zu $\Vert \cdot \Vert$ ist, müssen wir zeigen, dass es positive Konstanten $C_1>0$ und $C_2>0$ gibt, sodass die folgende Ungleichung für alle $x\in A$ gilt: $$C_1\cdot \Vert x\Vert \le \Vert x{\Vert }_1\le C_2\cdot \Vert x\Vert .$$

Beweisschritt 13 - Äquivalenz der Normen

In diesem Fall der Definition $\Vert \cdot {\Vert }_1$ gilt $\Vert x{\Vert }_1=\frac{1}{\Vert e\Vert }\cdot \Vert x\Vert$ und damit für $C_1:=C_2:=\frac{1}{\Vert e\Vert }$ sogar die Gleichheit: $$C_1\cdot \Vert x\Vert =\Vert x{\Vert }_1=C_2\cdot \Vert x\Vert .$$ $◻$.

Beispiel - Raum der stetigen Funktionen

Die Kompaktheit des Definitionsbereiches $[a,b]$ macht den Raum $𝒞([a,b],ℝ)$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $ℝ$ mit der Norm

$\Vert f\Vert :={\int }_a^b|f(x)|dx$

zu einem normierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Multiplikation auf dem Funktionenraum

Die Multiplikation ist argumentweise definiert über:

$f\cdot g:=h\text{ mit }h(x)=f(x)\cdot g(x)$

für alle $x\in [a.b]$.

Norm vom Einselement der Multiplikation

Das Einselement $e\in 𝒞([a,b],ℝ)$ ist die konstante Funktion 1 mit $e(x)=1$ für alle $x\in [a,b]$ mit:

$\Vert e\Vert ={\int }_a^b|e(x)|dx={\int }_a^{b}1dx=b-a$

Normalisierung bzgl. Einselement der Multiplikation

Man kann die äquivalente Norm, die für das Einselement der Multiplikation normalisiert ist, wie folgt definieren.

$\Vert f{\Vert }_1:=\frac{1}{b-a}\cdot \Vert f\Vert =\frac{1}{b-a}\cdot {\int }_a^b|f(x)|dx$

Damit gilt $\Vert e{\Vert }_1=1$.

Prähilbertraum der stetigen Funktionen

Mit dem Definitionsbereiches $[a,b]$ ist der Raum $𝒞([a,b],ℝ)$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $ℝ$ mit dem Skalarprodukt

$⟨f,g⟩:={\int }_a^{b}f(x)\cdot g(x)dx$

zu einem Prähilbertraum und damit über $\Vert f{\Vert }_2:=\sqrt{⟨f,f⟩}$ auch zu einem normierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Norm auf dem Hilbertraum

Norm auf dem Prähilbertraum

$\Vert f{\Vert }_2:=\sqrt{{\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx}$

Prähilbertraum - Norm vom Einselement

Das Einselement $e\in 𝒞([a,b],ℝ)$ ist die konstante Funktion 1 mit $e(x)=1$ für alle $x\in [a,b]$ mit:

$\Vert e{\Vert }_2=\sqrt{⟨e,e⟩}=\sqrt{{\int }_a^{b}1\cdot 1dx}=\sqrt{b-a}$

Aufgaben - Stetigkeit der Multiplikation

• Überprüfen Sie, ob die Multiplikation mit der $\Vert \cdot {\Vert }_1$ stetig ist!
• Überprüfen Sie, ob die Multiplikation mit der Maximumsnorm

$\Vert f{\Vert }_{max}:=\underset{x\in [a,b]}{max}|f(x)|$ stetig ist!

Siehe auch

• Beispiele für Vektorräume
• normalisiertes Gaugefunktionalsystem
• submultiplikativ
• Topologisierungslemma

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