Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Normalisiertes Gaugefunktionalsystem

Einleitung

In toplogischen Algebren $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ mit einer Gaugefunktionalsystem mit Gaugefunktionalen $\|\cdot \|_{\alpha }:A\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ für $\alpha \in {\mathcal {A}}$ trennen die Punkte (siehe Trennungsaxiome). Da das u.a. auch für das neutrale Element $e\in A$ der Multiplikation gilt, kann man den Nullvektor $0_{A}\in A$ vom Einselement $e\in A$ trennen. Mit dem Topologisierungslemma erhält man ferner:

e\not =0_{A}\,\Longrightarrow {\underset {\beta \in {\mathcal {A}}}{\exists }}\,\,\,\|e\|_{\beta }>0\,.

Äquivalentes Gaugefunktionalsystem 1

Wenn das Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ die Topologie erzeugt, dann ist

U_{\alpha }:=B_{1}^{\alpha }(0_{_{A}})=\{x\in A\,\colon \,\|x\|_{\alpha }<1\}

eine Nullumgebung. Da in einer Topologie der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen ist, ist auch der Schnitt $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ offen.

Äquivalentes Gaugefunktionalsystem 2

Damit kann man das Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ durch ein äquivalentes Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}^{\ast }$ ersetzen, wobei die Gaugefunktionale $\|\cdot \|_{\alpha }^{^{\ast }}$ wie folgt definiert werden:

{\begin{array}{rrcl}\|\cdot \|_{\alpha }^{^{\ast }}:&A&\rightarrow &\mathbb {R_{o}^{+}} \\&x&\mapsto &\|x\|_{\alpha }^{^{\ast }}=\displaystyle \max\{\|x\|_{\alpha },\|x\|_{\beta }\}\end{array}}

Äquivalentes Gaugefunktionalsystem 3

Das Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}^{\ast }$ erzeugt wegen $\|\cdot \|_{\alpha }^{^{\ast }}\geq \|\cdot \|_{\alpha }$ für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ zunächst einmal eine feinere Topologie im Vergleich zu dem Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ . Da aber die von $\|\cdot \|_{\alpha }^{^{\ast }}$ erzeugten offenen Mengen sind aber eine offene Menge in der von $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ erzeugten Topologie. Damit sind die Topologien äquivalent.

Normalisierung

Damit gilt $\|e\|_{\alpha }^{^{\ast }}>0$ für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ . Unter diesen Voraussetzungen kann man das Gaugefunktionalsystem normalisieren und damit definiert man Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }^{^{\ast }}:A\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ wie folgt:

{\begin{array}{rrcl}\|\cdot \|_{\alpha }^{^{\Delta }}:&A&\rightarrow &\mathbb {R} _{o}^{+}\\&v&\mapsto &\|v\|_{\alpha }^{^{\Delta }}={\frac {\|v\|_{\alpha }^{^{\ast }}}{\|e\|_{\alpha }^{^{\ast }}}}\end{array}}

Analog zur elementaren Normalisierung einer Norm erhält man nun $\|e\|_{\alpha }^{^{\Delta }}=1$ für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ .

Satz - Normalisierung des Gaugefunktionalsystems

Sei $A$ eine topologische Algebra mit einem topologierezeugenden System von Gaugefunktionalen $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}:=\{\|\cdot \|_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ und $(A,(\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ sei ein Hausdorffraum. Dann gibt es ein äquivalentes topologierezeugendes System von Gaugefunktionalen $\|\cdot \|_{{\widetilde {\mathcal {A}}}\times \mathbb {N} _{0}}:=\{\|\cdot \|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\}_{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\times \mathbb {N} _{0}}$ , sodass für alle ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gilt:

\|e\|_{({\widetilde {\alpha }},0)}=1\,\,{\mbox{ und }}{\underset {n\in \mathbb {N} }{\forall }}\,\,\|e\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\geq 1

wobei $e$ das neutrale Element der Multiplikation in $A$ ist und ${\big (}\|\cdot \|_{({\widetilde {\alpha }},n)}{\big )}_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ eine additive und multiplikative Stetigkeitssequenz für die Topologie auf $A$ .

Beweis - Normalisierungssatz

Die Gaugefunktionalsysteme seien ohne Einschränkung nach oben gerichtet, d.h. für alle $\alpha _{1},\alpha _{2}\in {\mathcal {A}}$ gibt es ein $\gamma \in {\mathcal {A}}$ mit:

{\underset {x\in A}{\forall }}\,\,\,\,\,\|x\|_{\alpha _{1}}\leq \|x\|_{\gamma }\,\,\wedge \,\,\|x\|_{\alpha _{2}}\leq \|x\|_{\gamma }.

Falls das Gaugefunktionalsystem nicht gerichtet ist, ersetzt man mit dem Schnittmengenlemma, die Gaugefunktionale der Form $\|x\|_{\gamma }:=\max\{\|x\|_{\alpha _{1}},\|x\|_{\alpha _{2}}\}$ für zwei beliebige Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha _{1}}$ und $\|\cdot \|_{\alpha _{2}}$ .

Beweisschritt 1 - Hausdorffeigenschaft

Für das gerichtete Gaugefunktionalsystem verwendet man nun eine Teilmenge $I\subseteq {\mathcal {A}}$ , wobei für alle $\gamma \in I$ gilt, dass $\|e\|_{\gamma }>0$ . $I\not =\emptyset$ gilt, da mit der Verwendung der Hausdorffeigenschaft möglich ist, mindestes ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ zu finden, für das $\|e\|_{\alpha }>0$ gilt. Da es für ein beliebiges $\beta \in {\mathcal {A}}$ auch ein $\gamma \in {\mathcal {A}}$ gibt, das die Eigenschaft $\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\gamma }$ und $\|x\|_{\beta }\leq \|x\|_{\gamma }$ erfüllt, liegt auch $\gamma \in I$ wegen

0<\|e\|_{\alpha }\leq \|e\|_{\gamma }.

Damit erzeugen insgesamt $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}=\{\|\cdot \|_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ und $\|\cdot \|_{I}=\{\|\cdot \|_{\gamma }\}_{\gamma \in I}$ die gleiche Topologie auf $A$ .

Beweisschritt 1 - Definition der neuen Gaugefunktionale:

Für jedes $\alpha \in I$ , definieren wir ein neues Gaugefunktional $q_{\alpha }$ durch:

\|x\|_{\gamma }^{^{\Delta }}={\frac {\|x\|_{\gamma }}{\|e\|_{\gamma }}},\quad {\text{für alle }}x\in A.

Beweisschritt 2 - Überprüfung der Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften müssen nun für das Gaugefunktionalsystem überprüft werden:

Homogenität
Subadditivität
Submultiplikativität

Positivität 2.1

Da $\|\cdot \|_{\alpha }$ für alle $\gamma \in I$ ein Gaugefunktional ist, gilt $\|x\|_{\gamma }\geq 0$ für alle $x\in A$ . Da $\|e\|_{\gamma }>0$ für alle $\gamma \in I$ für das neutrale Element der Multiplikation $e\in A$ erfüllt ist, gilt auch $\|x\|_{\gamma }^{^{\Delta }}\geq 0$ für alle $x\in A$ .

Homogenität 2.2

Für alle $\lambda \in \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ und $x\in A$ gilt:

\|\lambda \cdot x\|_{\gamma }^{^{\Delta }}={\frac {\|\lambda \cdot x\|_{\gamma }}{\|e\|_{\gamma }}}={\frac {\lambda \cdot \|x\|_{\gamma }}{\|e\|_{\gamma }}}=\lambda \cdot \|x\|_{\gamma }^{^{\Delta }}

Subadditivität 2.3

Mit der Stetigkeitskeit der Addition kann mit für alle $\gamma \in I\subseteq {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ finden, sodass für alle $x,y\in A$ gilt:

\|x+y\|_{\gamma }\leq \|x\|_{\beta }+\|y\|_{\beta }

Da das Gaugefunktionalsystem gerichtet ist, kann man ein Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\widehat {\gamma }}$ finden mit:

{\underset {x\in A}{\forall }}\,\,\,\,\,\|e\|_{\alpha }>0\,\,\wedge \,\,\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\widehat {\gamma }}\,\,\wedge \,\,\|x\|_{\beta }\leq \|x\|_{\widehat {\gamma }}

.

Subadditivität 2.4

Mit der obigen Ungleichung erhält man:

\|x+y\|_{\gamma }\leq \|x\|_{\beta }+\|y\|_{\beta }\leq \|x\|_{\widehat {\gamma }}+\|y\|_{\widehat {\gamma }}

Subadditivität 2.5

Angewendet auf $\|\cdot \|_{\gamma }^{^{\Delta }}$ liefert diese Abschätzung:

{\begin{array}{rcl}\|x+y\|_{\gamma }^{^{\Delta }}&=&\textstyle {\frac {\|x+y\|_{\gamma }}{\|e\|_{\gamma }}}\leq {\frac {\|x\|_{\widehat {\gamma }}+\|y\|_{\widehat {\gamma }}}{\|e\|_{\gamma }}}\\&=&{\frac {\|e\|_{\widehat {\gamma }}}{\|e\|_{\gamma }}}\cdot \left({\frac {\|x\|_{\widehat {\gamma }}}{\|e\|_{\widehat {\gamma }}}}+{\frac {\|y\|_{\widehat {\gamma }}}{\|e\|_{\widehat {\gamma }}}}\right)=\underbrace {\frac {\|e\|_{\widehat {\gamma }}}{\|e\|_{\gamma }}} _{=:C}\cdot \left(\|x\|_{\gamma }^{^{\Delta }}+\|y\|_{\gamma }^{^{\Delta }}\right)\\&=&C\cdot \left(\|x\|_{\widehat {\gamma }}^{^{\Delta }}+\|y\|_{\widehat {\gamma }}^{^{\Delta }}\right)\end{array}}

Damit ist die $C>0$ die Konstante für die $C$ -Subadditivität. Damit ist die Addition insgesamt stetig.

Normierung 2.5

Für das neutrale Element $e$ gilt:

\|e\|_{\gamma }^{^{\Delta }}={\frac {\|e\|_{\gamma }}{\|e\|_{\gamma }}}=1.

Beweisschritt 3 - Fazit

Mit der oben genannten Äquivalenz der erzeugten Topologien hat man nun ein normalisiertes Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}^{^{\Delta }}$ mit