Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/pseudokonvex - konvex

Einleitung

In endlichdimensionalen Vektorräumen (wie z.B. dem $V:=\mathbb {R} ^{n}$ oder $V:=\mathbb {C} ^{n}$ ) erzeugt $p$ -Norm die gleiche Topologie, wie jede weitere Norm auf $V$ die gleiche Topologie. Diese Lerneinheit bereit die Unterscheidbarkeit pseudokonvexen und lokalkonvexen Topologien vor. Jede lokalkonvexe Topologie ist auch pseudokonvex mit $p=1$ , aber nicht jede pseudokonvexe mit $p>0$ ist auch lokalkonvex. Das gilt nur für $p$ -konvexe Menge mit $p\geq 1$ (siehe auf Ungleichungen von Clarkson). Im Folgenden wird dies direkt für die Einheitskugel in der $p$ im $V:=\mathbb {R} ^{n}$ geführt, da diese bei der Betrachtung von topologischen Invertierbarkeitskriterien eine Rolle spielt.

Animation p-Norm

Roter Einheitskreis in der jeweiligen $p$ -Norm in Abhängigkeit von $p$ als Animation dargestellt.

Pseudokonvexe Einheitkreise

Einheitskreise für ausgewählten $p$ -Normen mit $\|(x,y)\|=|x|^{p}+|y|^{p}$ .

Für $p\geq 1$ sind die Einheitskreisscheiben $B_{1}^{\|\cdot \|}(0,0):=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,\colon \,\|(x,y)\|<1\}$ konvex. $\|(x,y)\|_{\ast }:=\|(x,y)\|^{\frac {1}{p}}$ ist für $p\geq 1$ auch eine Norm. Für alle $0<p<1$ ist die Einheitskreisscheibe nicht konvex.

Lemma zur p-Konvexitäts-Differenzierung

Sei $S_{p}\subset V:=\ell _{p}(\mathbb {R} )$ die abgeschlossene Einheitskugel $S_{p}=\{x\in \ell _{p}(\mathbb {R} )\,\colon \,\|x\|_{p}\leq 1\}$ bzgl. einer $p$ -Norm mit $0<p<1$ , dann gibt es immer zwei Elemente $x,y\in S_{p}$ , wobei die Konvexkombination $(1-t)\cdot x+t\cdot y$ nicht in der Menge $S_{p}$ liegt. Die verwendete $p$ -Norm ist dabei:

\|x\|_{p}=\|(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }\|_{p}=\left\|{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\\end{pmatrix}}\right\|_{p}=\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}

Beweis

Um zu beweisen, dass es in einer $p$ -konvexen Menge mit $0<p<1$ in den reellen Zahlen immer zwei Elemente $x\in \ell _{p}(\mathbb {R} )$ und $y$ gibt, bei denen die Konvexkombination ${\frac {x+y}{2}}$ nicht in der Menge liegt, müssen wir zunächst den Begriff der $p$ -Konvexität klären.

Nutzung der Definition der p-Konvexität:

Die Menge $S_{p}\subseteq \mathbb {R}$ ist $p$ -konvex für ein $0<p<1$ , wenn für alle $x,y\in S$ und alle $\lambda ,\mu \in [0,1]$ gilt:

\forall _{\displaystyle x,y\in M;\lambda ,\mu \geq 0}:\lambda ^{p}+\mu ^{p}=1\,\Longrightarrow \,\lambda x+\mu y\in S_{p}

Ferner gilt $\mu =(1-\lambda ^{p})^{\frac {1}{p}}$ mit ${\frac {1}{p}}>1$ .

Beweisschritt 1 - Wahl der beiden Elemente

Seien $x\in S_{p}$ und $y\in S_{p}$ so gewählt, das diese auf dem Rand der Einheitkugel $S_{p}$ im Folgenraum $\ell _{p}(\mathbb {R} )$ liegen, also $\|x\|_{p}=1$ und $\|y\|_{p}=1$ gilt. Dabei werden $x\not =y$ als kanonische Basisvektoren gewählt:

x=e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \end{pmatrix}}\in \ell _{p}(\mathbb {R} )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y=e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \end{pmatrix}}\in \ell _{p}(\mathbb {R} )

Beweisschritt 2 - Festlegung der Konvexkombination

Man zeigt nun, dass die Konvexkombination ${\frac {x+y}{2}}$ nicht in $S_{p}$ liegt, wobei gilt:

{\frac {x+y}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot (e_{1}+e_{2})={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\vdots \end{pmatrix}}\in \ell _{p}(\mathbb {R} )

Beweisschritt 3 - Verwendung der Definition der p-Konvexität

Nach der Definition der $p$ -Konvexität muss für alle $\lambda ,\mu \in [0,1]$ gilt mit $\mu =\lambda$ und

1=\lambda ^{p}+\mu ^{p}=\lambda ^{p}+\lambda ^{p}=2\cdot \lambda ^{p}

Damit gilt für $\lambda ={\frac {1}{2^{\frac {1}{p}}}}=2^{-{\frac {1}{p}}}<{\frac {1}{2}}$ , da mit $0<p<1$ die Ungleichungen gelten:

{\frac {1}{p}}>1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2^{\frac {1}{p}}>2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{2^{\frac {1}{p}}}}<{\frac {1}{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {2}{2^{\frac {1}{p}}}}<1

Beweisschritt 4 - Betrachtung der Konvexkombination

Betrachtet man die folgende Konvexkombination mit ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{2}}}$ unter Verwendung der Eigenschaften einer $p$ -Norm :

\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|_{p}=\underbrace {\frac {1}{2^{p}}} _{>{\frac {1}{2}}}+\underbrace {\frac {1}{2^{p}}} _{>{\frac {1}{2}}}>1

Damit gilt mit $\lambda ={\frac {1}{2}}$ auch $\lambda \cdot x+(1-\lambda )\cdot y\notin S_{p}$ . Die Einheitskugel $S_{p}$ ist damit nicht konvex.

Beweisschritt 5

Man hat nun gezeigt, dass es in einer $p$ -konvexen Menge $S_{p}\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit $0<p<1$ in Vektor immer zwei Elemente $x,y\in S_{p}$ gibt, bei denen die Konvexkombination ${\frac {x+y}{2}}$ nicht in der Menge $S_{p}$ liegt. Damit ist die abgeschlossene Einheitskugel $S_{p}=\{x\in \ell _{p}(\mathbb {R} )\,\colon \,\|x\|_{p}\leq 1\}$ nicht konvex. $\,\,\,\,\Box$

Korrollar für endlichdimensionale Vektorräume

Sei $S_{p}\subset V:=\mathbb {R} ^{n}$ die abgeschlossene Einheitskugel bzgl. einer $p$ -Norm mit $0<p<1$ , dann gibt es immer zwei Elemente $x,y\in S_{p}$ , wobei die Konvexkombination $(1-t)\cdot x+t\cdot y$ nicht in der Menge $S_{p}$ liegt. Die verwendete $p$ -Norm ist dabei:

\|x\|_{p}=\left\|{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\right\|_{p}=\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}

Beweis - Korrolar

Der Beweis für das Korollar erfolgt analog zum Beweis für den Raum $\ell _{p}(\mathbb {R} )$ . Im endlichdimensionalen Fall erzeugt die $p$ -Norm allerdings auch wieder eine Norm zur Erzeugung der Topologie verwenden kann (siehe auch Korrespondenzsatz mit endlich vielen Basisvektoren)

Bemerkung 1 - Folgenräume

Die oben genannte Betrachtung kann auf Folgenräume $\ell _{0}(\mathbb {R} )$ angewendet werden.

Bemerkung 2 - Ungleichungen von Clarkson

Für eine allgemeinere Betrachtung in ${\mathcal {L}}_{p}$ -Räumen ist die Analyse der Ungleichungen von Clarkson hilfreich.

Siehe auch