Kurs:Vorkurs Mathematik (Bielefeld 2009)/Brüche

Aufgabe

Fassen Sie zu einem Bruch zusammen und kürzen Sie gegebenenfalls:

1. ${}{\frac {3}{5}}\cdot {\frac {15}{7}}$
2. ${}{\frac {3}{5}}:{\frac {15}{7}}$
3. ${}{\frac {2}{3}}:18$
4. ${}18:{\frac {2}{3}}$

Lösung:

1. ${}1{\frac {2}{7}}$
2. ${}{\frac {7}{25}}$
3. ${}{\frac {1}{27}}$
4. ${}27$

 

Aufgabe

Kürzen Sie so weit wie möglich:

1. ${}{\frac {144}{156}}$
2. ${}{\frac {4+3}{8+9}}$
3. ${}{\frac {3a^{2}+b}{3a^{2}}}$
4. ${}{\frac {25a-50a^{2}b}{10ac^{2}+45a^{3}}}$

Lösung:

1. ${}{\frac {12}{13}}$
2. ${}{\frac {7}{17}}$
3. ${}{\frac {3a^{2}+b}{3a^{2}}}$
4. ${}{\frac {5-10ab}{2c^{2}+9a^{2}}}$

 

Aufgabe

Bringen Sie auf einen Bruchstrich (geschickter Nenner?):

1. ${}{\frac {1}{5}}+{\frac {9}{10}}$
2. ${}{\frac {7}{6}}-{\frac {3}{4}}$
3. ${}2{\frac {3}{4}}-{\frac {7}{7}}$
4. ${}{\frac {2}{3}}+{\frac {7}{12}}-1{\frac {3}{8}}$
5. ${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$
6. ${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b^{2}}}$
7. ${}{\frac {a}{4bc}}+{\frac {d}{6c^{2}}}$
8. ${}{\frac {a}{b+c}}+{\frac {d}{b-c}}$
9. ${}{\frac {a}{1+x}}+{\frac {b}{1-x}}+{\frac {c}{(1+x)^{2}}}$
10. ${}{\frac {a-b}{c+d}}+{\frac {c-d}{a+b}}$

Lösung:

1. ${}{\frac {11}{10}}=1{\frac {1}{10}}$
2. ${}{\frac {5}{12}}$
3. ${}1{\frac {3}{4}}$
4. ${}-{\frac {1}{8}}$
5. ${}{\frac {ad+cb}{bd}}$
6. ${}{\frac {ab+c}{b^{2}}}$
7. ${}{\frac {3ac+2bd}{12bc^{2}}}$
8. ${}{\frac {a(b-c)+d(b+c)}{b^{2}-c^{2}}}$
9. ${}{\frac {a(1-x)(1+x)+b(1+x)^{2}+c(1-x)}{(1-x^{2})(1+x)}}$
10. ${}{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}}{ac+bc+ad+bd}}$

 

Aufgabe

Fassen Sie zu einem einfachen Bruch zusammen und kürzen Sie gegebenenfalls:

1. ${}{\frac {\frac {12}{23}}{\frac {34}{45}}}$
2. ${}{\frac {3}{\frac {1}{1000}}}$
3. ${}{\frac {\frac {a-b}{c+d}}{\frac {a+b}{c-d}}}$
4. ${}{\frac {\frac {a^{2}-b^{2}}{c+d}}{\frac {a+b}{c^{2}-d^{2}}}}$
5. ${}{\frac {3}{{\frac {4}{6}}+{\frac {1}{2}}}}$

Lösung:

1. ${}{\frac {270}{391}}$
2. ${}3000$
3. ${}{\frac {ac-ad-bc+bd}{ac+bc+ad+bd}}$
4. ${}(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd$
5. ${}2{\frac {4}{7}}$

 

Aufgabe

Ist ${}3/5$ größer oder gleich oder kleiner als ${}5/8$? Wie kann man diese Frage schnell entscheiden, ohne die Brüche dezimal auszurechnen?

Lösung:

Zum Beispiel so: Angenommen, ${}3/5{\stackrel {?}{>}}7/11$. Dann multiplizieren wir beide Seiten mit beiden Nennern: ${}5\cdot 11\cdot 3/5{\stackrel {?}{>}}5\cdot 11\cdot 7/11$. Es kürzen sich die ${}5$ links und die ${}11$ rechts. Also müsste auch ${}11\cdot 3{\stackrel {?}{>}}5\cdot 7$ gelten, also ${}33{\stackrel {?}{>}}35$. Das ist aber falsch. Die Gleichheit ist mit einer analogen Begründung ausgeschlossen. Der linke Bruch ist also kleiner als der rechte.