Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in ${}R_{S}$ genau denjenigen Primidealen in ${}R$ entsprechen, die mit ${}S$ einen leeren Durchschnitt haben.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in ${}R$ ein multiplikatives System bildet.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ${}F\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ${}R_{F}\subseteq S_{F}$ ganz ist.

Aufgabe

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl, sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und sei ${}A_{D}$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme an ${}2$ ein Ringisomorphismus

$R_{2}\longrightarrow (A_{D})_{2}$

vorliegt.

Aufgabe *

Es sei ${}\mathbb {Z} _{n}$ die Nenneraufnahme zu ${}n$ (${}\mathbb {Z} _{n}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}n$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe ${}R$ mit

${}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,$

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von ${}n$.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und seien ${}f,g\in \mathbb {Z}$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper ${}Q(R)$ genommenen) Durchschnitt

${}R_{f}\cap R_{g}=R\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {P} }$ eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

$R_{T}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q{\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }}T{\text{ vorkommen}}\right\}}$

ein Unterring von ${}\mathbb {Q}$ ist. Was ergibt sich bei ${}T=\emptyset$, ${}T=\{3\}$, ${}T=\{2,5\}$, ${}T={\mathbb {P} }$?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\notin S$.

1. Zeige, dass die Nenneraufnahme zu ${}S$, also ${}R_{S}$ mit

   ${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

   ein Unterring von ${}Q(R)$ ist.

2. Zeige, dass nicht jeder Unterring von ${}Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

$R_{S}$

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst ${}M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in ${}S$, also

${}M={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r\in R,\,s\in S\right\}}\,.$

Zeige, dass durch

${\frac {r}{s}}\sim {\frac {r'}{s'}}{\text{ genau dann, wenn es ein }}t\in S{\text{ mit }}trs'=tr's{\text{ gibt}},$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit ${}R_{S}$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf ${}R_{S}$ eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow R_{S}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}e\in R$ ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

${}R_{e}\cong R/(1-e)\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}f\in R$ ein Element und ${}R_{f}$ die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass ${}f$ genau dann nilpotent ist, wenn ${}R_{f}$ der Nullring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“

$M_{S}$

und zeige, dass sie ein ${}R_{S}$-Modul ist.

Aufgabe *

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow A$

ein Ringhomomorphismus derart, dass ${}\varphi (s)$ eine Einheit in ${}A$ ist für alle ${}s\in S$. Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R_{S}\longrightarrow A,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${}a+b$ nur dann eine Einheit ist, wenn ${}a$ oder ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$. Zeige, dass die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in {\mathfrak {p}},\,g\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}R$ ist normal.
2. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ normal.
3. Für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$ normal.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Es sei ${}R=\bigcap _{i\in I}R_{i}$, wobei die ${}R_{i}\subseteq K$, ${}i\in I$, alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ${}R$ ist normal.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}R$ und ${}Q$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, die Ordnung

${}\operatorname {ord} \,(q)\in \mathbb {Z} \,.$

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus ${}R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus ${}Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Finde einen diskreten Bewertungsring ${}R\subseteq K(T)$ mit ${}Q(R)=K(T)$ und mit ${}R\cap K[T]=K$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Charakterisiere die endlich erzeugten ${}R$- Untermoduln von ${}Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}n$ und ${}k$ teilerfremde Zahlen und sei

${}\mathbb {Z} \subseteq R\,$

ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine Ringisomorphie

${}R/(n)\cong (R_{k})/(n)\,$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ normal ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich, sei ${}f\in R$ und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}$ genau dann ist, wenn für alle Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
4. Es ist ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.