Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 11

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde die kleinste Zahl $N$ der Form  $N=p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_r+1$,  die keine Primzahl ist, wobei $p_1,p_2,\dots ,p_r$ die ersten $r$ Primzahlen sind.

Aufgabe

Berechne den Ausdruck

$n^2+n+41$

für  $n=0,1,2,\dots$.  Handelt es sich dabei um Primzahlen?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in $K[X]$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

für reelles  $s\le 1$  divergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

für eine komplexe Zahl $s$ mit  $\mathrm{Re}\left(s\right)>1$  absolut konvergiert.

Aufgabe

Berechne den Wert der Reihe

$\sum _{n\in M(\{3,5,7\})}\frac{1}{n^4}.$

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 7.36 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) hilfreich.

Aufgabe

Es sei ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die Folge der Fibonacci-Zahlen. Zeige, dass die Reihe der Kehrwerte

$\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}\frac{1}{f_n}$

konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass das uneigentliche Integral

${\int }_2^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\ln x}$

divergiert.

Welche Beziehung besteht zwischen der vorstehenden Aufgabe und Satz 11.7?

Aufgabe

Zeige, dass es außer $3,5,7$ kein weiteres Zahlentripel der Form $p,p+2,p+4$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

Aufgabe

Zeige, dass es eine gerade Zahl $g$, $2\le g\le 252$, mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen $p$ derart gibt, dass auch $p+g$ eine Primzahl ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.

Aufgabe

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl $q$ modulo unendlich vieler Primzahlen $p$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.

Aufgabe *

Finde neben

$1=1^2<25=5^2<49=7^2$

weitere teilerfremde Quadratzahlen

$a^2<b^2<c^2<1000$

mit

$c^2-b^2=b^2-a^2.$

Es gibt innerhalb der Quadratzahlen keine arithmetische Progression der Länge $4$.

Aufgabe

Zeige, dass es keine unendlich lange arithmetische Progression gibt, die nur aus Primzahlen besteht.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Teilmenge  $T\subseteq {\mathbb{N}}_{+}$  derart, dass die Reihe $\sum _{n\in T}\frac{1}{n}$ konvergiert, und dass es in $T$ arithmetische Progressionen beliebiger Länge gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $3$ besitzen.

Aufgabe (6 Punkte)

Von wie vielen Zahlen ist „durchschnittlich“ die Zahl $7$ der kleinste Primteiler? Erläutere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler $7$ ist (begründe!).

Beantworte die entsprechenden Fragen für eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl $p$ muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens $80\mathrm{\%}$ (oder $85\mathrm{\%}$ oder $90\mathrm{\%}$) aller Zahlen einen Primteiler $\le p$ besitzen.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die kleinste Primzahl $p_k$ derart, dass

$\prod _{i=1}^k\frac{1}{1-p_i^{-1}}=\frac{p_1}{p_1-1}\cdot \frac{p_2}{p_2-1}\cdots \frac{p_k}{p_k-1}\ge 5$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $a>1$  eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl

$\pi (ax)-\pi (x)$

unbeschränkt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das unendliche Produkt

$\prod _{p\in \mathbb{P},p\ge 7}\frac{1}{1-p^{-2}}.$