Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}K$ ein Körper mit  ${}R\subseteq K$.  Zeige, dass dann auch  ${}Q(R)\subseteq K$  gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper  ${}K=Q(R)$.  Zeige, dass jedes Element ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

${}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$

mit einer Einheit  ${}u\in R$  und ganzzahligen Exponenten ${}r_{i}$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper  ${}K=Q(R)$.  Es sei  ${}a\in K$  ein Element mit  ${}a^{n}\in R$  für eine natürliche Zahl  ${}n\geq 1$.  Zeige, dass dann schon ${}a$ zu ${}R$ gehört.

Aufgabe

Betrachte die rationalen Zahlen ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe *

Betrachte die rationalen Zahlen ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Es sei  ${}G\subseteq \mathbb {Q}$  eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${}G$ zyklisch ist.

Aufgabe

Bestimme einen Erzeuger für die Untergruppe  ${}H\subseteq (\mathbb {Q} ,+,0)$,  die durch die rationalen Zahlen

${\frac {8}{7}},\,{\frac {5}{11}},\,{\frac {7}{10}}\,$

erzeugt wird.

Eine solche Untergruppe von ${}\mathbb {Q}$ nennt man auch ein gebrochenes Ideal.

Aufgabe *

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal  ${}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$,  das durch die rationalen Zahlen

${\frac {3}{7}},\,{\frac {5}{6}},\,{\frac {3}{10}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen und

$\alpha \colon {\mathbb {P} }\longrightarrow \mathbb {Z}$

eine Abbildung. Zeige, dass die Menge

${}G_{\alpha }={\left\{q\in \mathbb {Q} ^{\times }\mid \operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}\geq \alpha (p){\text{ für alle }}p\right\}}\cup \{0\}\,$

eine Untergruppe von ${}(\mathbb {Q} ,0,+)$ ist.

Aufgabe *

Es sei

$\varphi \colon (\mathbb {Q} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ trivial ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {Q} ,0,+)$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ nicht injektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {Q} ,0,+)$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass  ${}2^{1/5}\in \mathbb {R}$  algebraisch über ${}\mathbb {Q}$ ist und bestimme das Minimalpolynom davon.

Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus ${}L\rightarrow {\mathbb {C} }$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }$ und ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}d$ bzw. ${}e$. Es seien ${}d$ und ${}e$ teilerfremd. Zeige, dass dann

${}K\cap L=\mathbb {Q} \,$

ist.

Aufgabe *

Berechne in

$\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$

das Produkt

$(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$

(${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe

Bestimme das Inverse von ${}2x^{2}+3x-1$ im Körper ${}\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5\right)}$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass jedes Element  ${}f\in L$  algebraisch über ${}K$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$, ${}a,b\in \mathbb {R}$, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl  ${}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }$  sowie der Real- und der Imaginärteil von ${}z$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}{\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }\,.$

Aufgabe

Bringe für die Körpererweiterung  ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$  die Konzepte Norm und Spur mit dem Betrag und dem Realteil einer komplexen Zahl in Verbindung.

Aufgabe

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=L$.  Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${}-4+9{\sqrt {3}}$ bezüglich der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,{\sqrt {3}}$ von ${}L$.

Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${}7x^{2}-4x+5$ in der kubischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-6X^{2}+5X-8\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung

$L\longrightarrow \operatorname {End} _{K}\,(L),\,f\longmapsto \mu _{f},$

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Berechne für das Element ${}2+4x+5x^{2}$ in der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

die Norm und die Spur.

Aufgabe *

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(2)\subseteq \mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\,$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${}1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Aufgabe

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(3)\subseteq \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}\,$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${}1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei  ${}F\in K[X]$  und  ${}a\in K$.  Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn  ${}F'(a)=0$  ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}L=K(X)$  der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Zeige, dass  ${}K\subset L$  eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra, die außerdem ein Integritätsbereich sei. Es sei  ${}f\in A$  ein über ${}K$ algebraisches Element. Es sei  ${}P\in K[X]$  ein normiertes Polynom mit  ${}P(f)=0$.  Dann ist ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ genau dann, wenn es irreduzibel ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${}7x^{2}+3x-8$ in der kubischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+9X^{2}-2X+5\right)}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}P=X^{n}-c\in K[X]$  ein irreduzibles Polynom. Es sei

${}f=a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung  ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$  vom Grad ${}n$. Zeige, dass die Spur von ${}f$ gleich ${}na_{0}$ ist.

In der folgenden Aufgabe werden verschiedene äquivalente Bedingungen an ein Polynom gestellt, die man alle als Definition eines separablen Polynoms nehmen kann. Man darf verwenden, dass es zu jedem Körper einen Erweiterungskörper gibt, in dem ein vorgegebenes Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}F\in K[X]$  ein Polynom vom Grad ${}n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. ${}F$ und die (formale) Ableitung ${}F'$ sind teilerfremd.
2. ${}F$ und die (formale) Ableitung ${}F'$ erzeugen das Einheitsideal.
3. ${}F$ besitzt in keinem Erweiterungskörper  ${}K\subseteq L$  mehrfache Nullstellen.
4. Es gibt einen Erweiterungskörper  ${}K\subseteq L$  derart, dass ${}F$ als Polynom in ${}L[X]$ in ${}n$ verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}F\in K[X]$  ein irreduzibles Polynom.

a) Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass ${}F$ separabel ist.

b) Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.

c) Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.