Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Diskriminante zur Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,$

zur Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und zur Basis ${}2-5{\mathrm {i} }$ und ${}4+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe *

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs ${}A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

${}f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,$

auf und berechne damit die Spur und die Norm von ${}f$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei

${}L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-p\right)}\,$

der durch das irreduzible Polynom ${}X^{3}-p$ definierte Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Q}$. Es sei

${}f=2+3x-4x^{2}\,.$

a) Finde die Matrix bezüglich der ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}1,x,x^{2}$ von ${}L$ der durch die Multiplikation mit ${}f$ definierten ${}\mathbb {Q}$-linearen Abbildung.

b) Berechne die Norm und die Spur von ${}f$.

c) Bestimme das Minimalpolynom von ${}f$.

d) Finde das Inverse von ${}f$.

e) Berechne die Diskriminante der Basis ${}1,f,f^{2}$.

Aufgabe

Beweise Lemma 16.6 unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass ${}L$ von ${}z$ erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ auf genau eine Weise die Struktur eines ${}\mathbb {Z}$- Moduls trägt. Kommutative Gruppen und ${}\mathbb {Z}$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe. Zeige, dass ${}A$ genau dann eine ${}R$- Algebra ist, wenn ${}A$ ein ${}R$- Modul ist, für den zusätzlich

$r(ab)=(ra)b{\text{ für alle }}r\in R,\,a,b\in A$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ der Kern eines Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow K$ in einen Körper ${}K$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls  ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$  ist für ein  ${}n\in \mathbb {N}$,  so ist bereits  ${}f\in {\mathfrak {a}}$. 

Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal. Dann nennt man die Menge

${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$

das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$. Es wird mit ${}\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ bezeichnet.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ das Radikal zum Ideal ${}\mathbb {Z} 27$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}S\subseteq R$  ein Unterring. Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.

1. Zu einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Ideal (in ${}S$).
2. Zu einem Radikal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Radikal.
3. Zu einem Primideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Primideal.
4. Zu einem maximalen Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein maximales Ideal.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (8 (1+1+2+2+2) Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei

${}L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-p\right)}\,$

der durch das irreduzible Polynom ${}X^{3}-p$ definierte Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Q}$. Es sei

${}f=2+3x-4x^{2}\,.$

a) Finde die Matrix bezüglich der ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}1,x,x^{2}$ von ${}L$ der durch die Multiplikation mit ${}f$ definierten ${}\mathbb {Q}$-linearen Abbildung.

b) Berechne die Norm und die Spur von ${}f$.

c) Bestimme das Minimalpolynom von ${}f$.

d) Finde das Inverse von ${}f$.

e) Berechne die Diskriminante der Basis ${}1,f,f^{2}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(G,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Es sei

${}E:=\operatorname {End} (G)=\operatorname {Hom} (G,G)\,$

die Menge der Gruppenhomomorphismen von ${}G$ nach ${}G$ (also die Gruppenendomorphismen auf ${}G$). Definiere auf ${}E$ eine Addition und eine Multiplikation derart, dass ${}E$ zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe und sei  ${}E=\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$  der zugehörige Endomorphismenring. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine ${}R$-Modulstruktur auf ${}M$ äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}{\mathfrak {a}}\neq R$  ein Ideal in ${}R$. Zeige: ${}{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem ${}g\in R$, ${}g\not \in {\mathfrak {a}}$, ein  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  und ein  ${}r\in R$  mit  ${}rg+f=1$  gibt.