Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in $R$ ein multiplikatives System bildet.

Aufgabe

Es sei $A\subseteq \mathbb{Q}$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, die eine abbrechende Dezimalentwicklung besitzen. Zeige, dass $A$ ein Unterring von $\mathbb{Q}$ ist und bestimme die Einheiten von $A$.

Aufgabe *

Es sei ${\mathbb{Z}}_n$ die Nenneraufnahme zu $n$ (${\mathbb{Z}}_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit

$\mathbb{Z}\subseteq R\subseteq {\mathbb{Z}}_n$

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein Zahlbereich und seien  $f,g\in \mathbb{Z}$  teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen) Durchschnitt

$R_f\cap R_g=R$

gilt.

Aufgabe

Es sei  $T\subseteq \mathbb{P}$  eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

$\begin{array}{cc}{R}_T& =\{q\in \mathbb{Q}\mid q\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }T\text{ vorkommen}\}\end{array}$

ein Unterring von $\mathbb{Q}$ ist. Was ergibt sich bei  $T=\mathrm{\varnothing }$,   $T=\{3\}$,   $T=\{2,5\}$,   $T=\mathbb{P}$? 

Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$, die lokal sind.

Aufgabe

Zeige, dass jeder Unterring von $\mathbb{Q}$ eine Nenneraufnahme ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System,  $0\notin S$. 

1. Zeige, dass die Nenneraufnahme zu $S$, also $R_S$ mit

   $R_S:=\{\frac{f}{g}\mid f\in R,g\in S\}\subseteq Q(R)$

   ein Unterring von $Q(R)$ ist.

2. Zeige, dass nicht jeder Unterring von $Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.

Aufgabe

Es sei  $R\subseteq S$  eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei  $F\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung  $R_F\subseteq S_F$  ganz ist.

Aufgabe

Es sei  $D\ne 0,1$  eine quadratfreie Zahl, sei  $R=\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$  und sei $A_D$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme an $2$ ein Ringisomorphismus

$R_2⟶{\left(A_D\right)}_2$

vorliegt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

$R_S$

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst $M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in $S$, also

$M=\{\frac{r}{s}\mid r\in R,s\in S\}.$

Zeige, dass durch

$\frac{r}{s}\sim \frac{r^{\prime }}{s^{\prime }}\text{ genau dann, wenn es ein }t\in S\text{ mit }tr{s}^{\prime }=t{r}^{\prime }s\text{ gibt},$

eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit $R_S$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $R_S$ eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus $R\to R_S$.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $e\in R$  ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

$R_e\cong R/(1-e)$

gibt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $f\in R$  ein Element und $R_f$ die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass $f$ genau dann nilpotent ist, wenn $R_f$ der Nullring ist.

Aufgabe *

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Es sei

$\phi :R⟶A$

ein Ringhomomorphismus derart, dass $\phi (s)$ eine Einheit in $A$ ist für alle  $s\in S$.  Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\tilde{\phi }:R_S⟶A,$

der $\phi$ fortsetzt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System und $M$ ein $R$-Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“

$M_S$

und zeige, dass sie ein $R_S$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass $R$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn $a+b$ nur dann eine Einheit ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.

Lemma 22.8 gilt auch ohne die Voraussetzung, dass $R$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔭$ ein Primideal in $R$. Zeige, dass die Lokalisierung $R_{𝔭}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

$𝔭R_{𝔭}:=\{\frac{f}{g}\mid f\in 𝔭,g\notin 𝔭\}$

ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. $R$ ist normal.
2. Für jedes Primideal $𝔭$ ist die Lokalisierung $R_{𝔭}$ normal.
3. Für jedes maximale Ideal $𝔪$ ist die Lokalisierung $R_{𝔪}$ normal.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei

$\nu :(K^{\times },\cdot ,1)⟶(\mathbb{Z},+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit  $\nu (f+g)\ge min\{\nu (f),\nu (g)\}$  für alle  $f,g\in K^{\times }$.  Zeige, dass

$R=\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\ge 0\}\cup \{0\}$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element $q\in Q(R)$, $q\ne 0$, die Ordnung

$\mathrm{ord}\left(q\right)\in \mathbb{Z}.$

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus $Q(R)\setminus \{0\}\to \mathbb{Z}$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Aufgabe

Es sei $f\in ℂ[X]$, $f\ne 0$, und  $a\in ℂ$.  Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die minimale Ordnung einer Ableitung mit  $f^{(k)}(a)\ne 0$. 
2. Der Exponent des Linearfaktors $X-a$ in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome.
3. Die Ordnung von $f$ an der Lokalisierung $ℂ[X{]}_{(X-a)}$ von $ℂ[X]$ am maximalen Ideal $(X-a)$.

Aufgabe

Bestimme ein Polynom  $P\in ℂ[X]$  minimalen Grades, das an der Stelle $3$ mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle $\mathrm{i}$ mit der Ordnung fünf verschwindet und das an den Stellen $0,3-2\mathrm{i}$ und $7\mathrm{i}$ einfach verschwindet.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Finde einen diskreten Bewertungsring  $R\subseteq K(T)$  mit  $Q(R)=K(T)$  und mit  $R\cap K[T]=K$. 

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔭$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring  $S=R/𝔭$  ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper  $Q=Q(S)$  und $R_{𝔭}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal $𝔭R_{𝔭}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

$Q(S)\cong R_{𝔭}/𝔭R_{𝔭}$

vorliegt.

Den in der vorstehenden Aufgabe beschriebenen Körper nennt man auch den Restekörper von $𝔭$; man bezeichnet ihn mit $\kappa (𝔭)$. Die Abbildung

$R⟶\kappa (𝔭),f⟼fmod𝔭,$

(aufgefasst in diesem Körper) heißt auch die Auswertungsabbildung (oder Evaluationsabbildung) an der Stelle $𝔭$.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und

$\phi :R⟶K$

ein Ringhomomorphismus in einen Körper $K$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung

$R⟶\kappa (𝔭)⟶K$

mit einem Restekörper $\kappa (𝔭)$ zu einem Primideal $𝔭$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass zu  $a\in ℂ$  der Einsetzungshomomorphismus

$ℂ[X]⟶ℂ,X⟼a,$

mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper $ℂ[X{]}_{(X-a)}/(X-a)ℂ[X{]}_{(X-a)}$) zum Primideal $(X-a)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper $Q$. Charakterisiere die endlich erzeugten $R$-Untermoduln von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$.  Es sei  $R=\bigcap _{i\in I}{R}_i$,  wobei die  $R_i\subseteq K$,   $i\in I$,  alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: $R$ ist normal.

Aufgabe

Beschreibe die nilpotenten Elemente von $\mathbb{Z}/(n)$ und die Reduktion von $\mathbb{Z}/(n)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $n$ und $k$ teilerfremde Zahlen und sei  $\mathbb{Z}\subseteq R$  ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine Ringisomorphie

$R/(n)\cong (R_k)/(n)$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und sei  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme $R_S$ normal ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich, sei  $f\in R$  und sei $𝔞$ ein Ideal. Zeige, dass  $f\in 𝔞$  genau dann ist, wenn für alle Lokalisierungen $R_{𝔭}$ gilt, dass  $f\in 𝔞R_{𝔭}$  ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei  $n\ge 2$  eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $n$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ ist lokal.
4. Die Reduktion von $\mathbb{Z}/(n)$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von $\mathbb{Z}/(n)$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ besitzt genau ein maximales Ideal.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $D\ne 1$  quadratfrei und  $D=1mod4$.  Finde in $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ ein Primideal $𝔭$ derart, dass die Lokalisierung an $𝔭$ kein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal  $𝔪=(p)$.  Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}⟶\mathbb{N},f⟼\mathrm{ord}\left(f\right),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1.  $\mathrm{ord}\left(fg\right)=\mathrm{ord}\left(f\right)+\mathrm{ord}\left(g\right)$. 
2.  $\mathrm{ord}(f+g)\ge \min (\mathrm{ord}\left(f\right),\mathrm{ord}\left(g\right))$. 
3. Es ist  $f\in 𝔪$  genau dann, wenn  $\mathrm{ord}\left(f\right)\ge 1$  ist.
4. Es ist  $f\in R^{\times }$  genau dann, wenn  $\mathrm{ord}\left(f\right)=0$  ist.