Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu ${}840$ in ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu ${}840$ in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl ${}5+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei  ${}f\in R$  als ein Produkt

${}f=up_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{r}^{\nu _{r}}\,$

mit Primelementen ${}p_{i}$ und einer Einheit ${}u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\nu _{1}(p_{1})+\cdots +\nu _{r}(p_{r})\,$

gilt, wobei die ${}(p_{i})$ die von ${}p_{i}$ erzeugten Primideale bezeichnen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit dem Divisor zum Hauptideal ${}(f)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein von ${}0$ verschiedenes Ideal mit einem Erzeugendensystem  ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$.  Zeige

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {min} {\left\{\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}\mid i=1,\ldots ,n\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und seien  ${}f,g\in R$  von ${}0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass ${}f$ genau dann ein Teiler von ${}g$ ist, wenn für die Hauptdivisoren die Beziehung

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\leq \operatorname {div} {\left(g\right)}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  Ideale mit  ${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R$.  Zeige, dass

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Es sei  ${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$  die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass ${}f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{i}$ Hauptideale sind.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in einem Zahlbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Zeige, dass

${}{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\cong {\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in einem Zahlbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Zeige, dass es einen natürlichen Ringisomorphismus

${}R/{\mathfrak {a}}\cong R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-5}}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-5$.  Betrachte in ${}R$ die Zerlegung

${}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,.$

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f,g\in R$, ${}f,g\neq 0$. Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ und ${}\operatorname {div} {\left(g\right)}$ genau dann gleich sind, wenn ${}f$ und ${}g$ assoziiert sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ${}f$ ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Gestalt ${}1{\mathfrak {p}}$ mit einem Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$  besitzt.

Das Element ${}f$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren ${}\neq 0$ ist.