Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten im Ring der Gaußschen Zahlen  ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\subset {\mathbb {C} }$  das Ideal  ${}{\mathfrak {a}}=(1+2{\mathrm {i} })\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. 

a) Skizziere die Situation.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen) zum Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. 

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

Aufgabe

Skizziere den quadratischen Zahlbereich  ${}A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$  als Gitter in ${}{\mathbb {C} }$. Skizziere ferner das Ideal  ${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$  als Untergitter.

Aufgabe

Es sei ${}A_{D}$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich mit der Gitterrealisierung

${}A_{D}=\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \omega \subseteq {\mathbb {C} }\,$

mit  ${}\omega ={\sqrt {D}}$  bzw.  ${}\omega ={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$.  Es sei  ${}\Lambda \subseteq \Gamma$  ein volles Untergitter. Zeige, dass ${}\Lambda$ genau dann ein Ideal in ${}A_{D}$ ist, wenn

${}\omega \Lambda \subseteq \Lambda \,$

gilt.

Aufgabe

Wir betrachten den Ring der Gaußschen Zahlen als Gitter  ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\mathrm {i} }\subset {\mathbb {C} }$.  Wie sehen die gebrochenen Ideale von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ als geometrische Objekte in ${}{\mathbb {C} }$ aus?

Aufgabe

Sind alle Vierecke konvex?

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von konvexen Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ wieder konvex ist.

Aufgabe

Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters  ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$. 

Aufgabe

Es seien  ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${}\mathbb {R}$- lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

$\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$

induziert.

Aufgabe

Es seien  ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${}\mathbb {Q}$- lineare Abbildung

$\mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{n}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

$\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$

induziert.

Aufgabe

Es seien  ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter  ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$  mit  ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \Gamma$  gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und es sei  ${}Y\subseteq X$  eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${}Y$ kompakt. Zeige, dass ${}Y$ abgeschlossen in ${}X$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es seien  ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}\subseteq X$  kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung  ${}Y=\bigcup _{i=1}^{n}Y_{i}$  kompakt ist.

Aufgabe

Es seien  ${}X,Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  kompakte Teilmengen. Zeige, dass es Punkte ${}x\in X$ und ${}y\in Y$ mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte ${}P\in X$ und ${}Q\in Y$ die Abschätzung

${}d(x,y)\leq d(P,Q)\,$

gilt.

Tipp: Man betrachte die Produktmenge  ${}S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{2n}$  und darauf die Abbildung ${}(x,y)\mapsto \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}$. Man argumentiere dann mit Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein metrischer Raum und seien  ${}Y,Z\subseteq X$  kompakte Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es ein  ${}d>0$  derart gibt, dass für beliebige Punkte  ${}P\in Y$  und  ${}Q\in Z$  die Abstandsbedingung  ${}d(P,Q)\geq d$  gilt.

Aufgabe

Zeige, dass ein Körper ${}K$ genau dann die Charakteristik ${}0$ besitzt, wenn die additive Gruppe ${}(K,+,0)$ torsionsfrei ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Alle Springmäuse leben in ${}\mathbb {Z} ^{2}$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung ${}\pm (3,4)$ und den Sprung ${}\pm (5,2)$. Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

$(14,11),\,(13,15),\,(17,12),\,(15,19),\,(16,16){\mbox{ und }}(12,20).$

Welche Springmäuse können sich begegnen?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}U$ eine Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ein Punkt  ${}Q\in \mathbb {R} ^{n}$  genau dann zur konvexen Hülle von ${}U$ gehört, wenn es endlich viele Punkte ${}P_{i}\in U$, ${}i\in I$, und reelle Zahlen ${}r_{i}$, ${}i\in I$, mit  ${}r_{i}\in [0,1]$,   ${}\sum _{i\in I}r_{i}=1$  und mit

${}Q=\sum _{i\in I}r_{i}P_{i}\,$

gibt.

Aufgabe (6 Punkte)

Skizziere zum Gitter ${}\mathbb {Z} ^{2}$ in ${}\mathbb {R} ^{2}$ drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Fakt ***** erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen konvex, kompakt und zentralsymmetrisch erfüllen.