Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe *

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(23)$.

Aufgabe

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${}\mathbb {Z} /(13)$, ${}\mathbb {Z} /(17)$ und ${}\mathbb {Z} /(19)$.

Aufgabe *

Bestimme in der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }$ zu jeder möglichen Ordnung ${}k$ ein Element  ${}x\in {\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }$,  das die Ordnung ${}k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

${}H\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }\,$

an, die aus vier Elementen besteht.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist.

Aufgabe

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Zeige, dass die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ und die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph sind.

Aufgabe

Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen Lemma 5.9, dass also der kanonische Homomorphismus ${}(\mathbb {Z} /(p^{r}))^{\times }\rightarrow (\mathbb {Z} /(p))^{\times }$ surjektiv ist (${}p$ Primzahl).

Aufgabe *

Bestimme eine primitive Einheit  ${}v\in \mathbb {Z} /(5)$  und ein Urbild  ${}u\in \mathbb {Z} /(25)$  von ${}v$, das in ${}\mathbb {Z} /(25)$ nicht primitiv ist.

Aufgabe

a) Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(3)$, in ${}\mathbb {Z} /(9)$ und in ${}\mathbb {Z} /(27)$.

b) Finde eine ganze Zahl, die in ${}\mathbb {Z} /(3)$ primitiv ist, aber nicht in ${}\mathbb {Z} /(9)$.

c) Zeige, dass jede ganze Zahl, die in ${}\mathbb {Z} /(9)$ primitiv ist, auch in ${}\mathbb {Z} /(27)$ primitiv ist.

Aufgabe

Bestimme alle primitiven Elemente von ${}{\mathbb {Z} }/(27)$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und  ${}r\geq 2$.  Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung

${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p^{r-1})\right)}^{\times }.$

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Wir betrachten den kanonischen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(p^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)$

und den zugehörigen Gruppenhomomorphismus

${\left(\mathbb {Z} /(p^{2})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$

der Einheitengruppen. Es sei ${}v$ eine primitive Einheit von ${}\mathbb {Z} /(p)$. Zeige, dass unter den Urbildern von ${}v$ in ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ ein Element keine primitive Einheit von ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ ist, und ${}p-1$ Elemente primitive Einheiten sind.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und  ${}r\geq s\geq 2$  Wir betrachten den kanonischen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(p^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{s})$

und den zugehörigen Gruppenhomomorphismus

${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p^{s})\right)}^{\times }$

der Einheitengruppen. Es sei ${}v$ eine primitive Einheit von ${}\mathbb {Z} /(p^{s})$. Zeige, dass sämtliche Urbilder von ${}v$ in ${}\mathbb {Z} /(p^{r})$ primitive Einheiten von ${}\mathbb {Z} /(p^{s})$ sind.

In der folgenden Aufgabe bezeichnet ${}{\mathbb {F} }_{121}$ den Körper mit ${}121$ Elementen. Darüber hinaus muss muss man nichts über ihn wissen.

Aufgabe *

Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und in ${}\mathbb {Z} /(121)$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung ${}10$ und ein Element der Ordnung ${}11$ in ${}\mathbb {Z} /(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung ${}10$ und der Ordnung ${}11$ auch in ${}{\mathbb {F} }_{121}$?

Aufgabe *

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(360)$.

a) Schreibe ${}\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ${}\mathbb {Z} /(360)$?

c) Schreibe das Element ${}239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von ${}239$ in ${}\mathbb {Z} /(360)$.

Aufgabe

Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ für natürliche Zahlen ${}n,m$ die Eigenschaft

${}{\varphi (\operatorname {ggT} (m,n))}\cdot {\varphi (\operatorname {kgV} (m,n))}={\varphi (n)}\cdot {\varphi (m)}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung

${}{\varphi (n)}\geq {\frac {\sqrt {n}}{2}}\,.$

In den nächsten Aufgaben werden die folgenden Begriffe verwendet.

Ein Element ${}a$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt nilpotent, wenn  ${}a^{n}=0$  für eine natürliche Zahl ${}n$ ist.

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn  ${}e^{2}=e$  gilt.

Aufgabe *

Es sei  ${}p\in \mathbb {Z}$  eine Primzahl und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Zeige, dass der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von ${}{\mathbb {Z} }/(60)$.

Aufgabe *

a) Finde die Zahlen  ${}z\in \{0,1,\ldots ,9\}$  mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

b) Finde die Zahlen  ${}z\in \{0,1,\ldots ,99\}$  mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien  ${}f,g\in R$  nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ${}f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}f\in R$.  Es sei ${}f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass  ${}f=0$  ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}f\in R$  ein nilpotentes Element. Zeige, dass ${}1+f$ eine Einheit ist.

Aufgabe *

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

${}{\varphi (n)}=n\cdot \prod _{p{|}n,\ p{\text{ prim}}}{\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in ${}{\mathbb {Z} }/(72)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}k$ und ${}n$ mit ${}k\,{|}\,n$ der kanonische Homomorphismus

${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(k)\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler ${}k$ von ${}n$ mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$

gilt, dass ${}a$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ genau dann eine Einheit ist, wenn ${}\varphi (a)$ in ${}\mathbb {Z} /(k)$ eine Einheit ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine primitive Einheit  ${}v\in \mathbb {Z} /(7)$  und ein Urbild  ${}u\in \mathbb {Z} /(49)$  von ${}v$, das in ${}\mathbb {Z} /(49)$ nicht primitiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl  ${}n\neq 0$  bezeichne ${}\nu _{p}(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt  ${}\nu _{p}(nm)=\nu _{p}(n)+\nu _{p}(m)$. 

c) Finde eine Fortsetzung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Q} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und ${}\mathbb {Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.