Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine ungerade Zahl. Zeige, dass es in ${}\mathbb {Z} /(n)$ maximal ${}{\frac {n+1}{2}}$ Quadratreste gibt. Wie sieht dies bei ${}n$ gerade aus?

Aufgabe *

Betrachte die Quadratrestgruppe

$\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$

wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse  ${}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$  einen Repräsentanten aus ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit  ${}2\neq 0$.  Zeige, dass die Anzahl von ${}K$ ungerade ist, und dass es in ${}K$ genau ${}{\frac {{\#\left(K\right)}+1}{2}}$ Quadrate gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und sei ${}k$ eine zu ${}p$ teilerfremde natürliche Zahl. Es sei

$\pi _{k}\colon {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto kx,$

die zu ${}k$ gehörende Permutation auf der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ und ${}\operatorname {sgn} (\pi _{k})$ das Signum dieser Permutation. Zeige

${}\left({\frac {k}{p}}\right)=\operatorname {sgn} (\pi _{k})\,.$

Aufgabe *

Berechne zu  ${}p=13$  und  ${}k=3$  die Vielfachen ${}ik\mod 13$ für  ${}i=1,\ldots ,6$  und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen ${}-6$ und ${}6$. Berechne damit die Vorzeichen  ${}\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(3)$  und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.

Aufgabe

Berechne zu  ${}p=17$  und  ${}k=5$  die Vielfachen ${}ik\mod 17$ für  ${}i=1,\ldots ,8$  und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen ${}-8$ und ${}8$. Berechne damit die Vorzeichen  ${}\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(5)$  und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.

Aufgabe

Wie viele Lösungen hat die Gleichung

${}x^{5}=a\,$

in ${}\mathbb {Z} /(19)$ für ein gegebenes  ${}a\in \mathbb {Z} /(19)$? 

Aufgabe

Beweise mit Hilfe des Gaußschen Vorzeichenlemmas eine Modulobedingung für die ungeraden Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass ${}3$ ein Quadrat modulo ${}p$ ist.

Aufgabe

Charakterisiere, für welche Primzahlen ${}p$ die Zahl ${}-2$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist.

Aufgabe

Finde die Lösungen der Kongruenz

${}6x^{2}+4x+1=0\mod 35\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (7 (1+1+1+4) Punkte)

Für einen Körper ${}K$ bezeichnet  ${}K^{\times 2}\subseteq K^{\times }$  die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe

$K^{\times }/K^{\times 2}.$

1. ${}K$ ist ein endlicher Körper.
2.  ${}K=\mathbb {R}$. 
3.  ${}K={\mathbb {C} }$. 
4.  ${}K=\mathbb {Q}$. 

Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Eulersche Kriterium für beliebige Potenzreste.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}e$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element  ${}k\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$  genau dann eine ${}e$-te Wurzel besitzt, wenn  ${}k^{\frac {p-1}{e}}=1$  ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne zu  ${}p=23$  und  ${}k=8$  die Vielfachen ${}ik\mod 23$ für  ${}i=1,\ldots ,11$  und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen ${}-11$ und ${}11$. Berechne damit die Vorzeichen  ${}\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(8)$  und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise mit Hilfe des Gaußschen Vorzeichenlemmas eine Modulobedingung für die ungeraden Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass ${}5$ ein Quadrat modulo ${}p$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösungen der Kongruenz

${}5x^{2}+5x+4=0\mod 91\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass im Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente ${}a,b$ genau dann assoziiert sind, wenn  ${}(a)=(b)$  ist.

Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von ${}n,a$ und ${}b$ aufbaut.

Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes derart, dass  ${}(a)=(b)$  ist, dass aber ${}a$ und ${}b$ nicht assoziiert sind.