Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 8

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne für  ${}p=17$  und  ${}k=5$  den Ausdruck

${}S(k,p)=\sum _{i=1}^{\frac {p-1}{2}}\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor \,.$

Berechne damit ${}\left({\frac {k}{p}}\right)$ mit Hilfe von Lemma 8.1.

Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob ${}17$ ein quadratischer Rest modulo ${}19$ ist, oder nicht.

Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob ${}23$ ein quadratischer Rest modulo ${}73$ ist, oder nicht.

Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob ${}50$ ein quadratischer Rest modulo ${}83$ ist, oder nicht.

Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {563}{1231}}\right).$

Bemerkung: ${}563$ und ${}1231$ sind Primzahlen.

Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des Satz 8.2 und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {2333}{3673}}\right).$

Aufgabe

Berechne mit Hilfe des Satz 8.2 und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {1489}{2437}}\right).$

Aufgabe *

Zeige, dass ${}-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl  ${}p\neq 2$  ist, wenn  ${}p=0,1\mod 3$  ist.

Aufgabe *

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass ${}7$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?

Aufgabe *

Es sei ${}n$ eine ungerade natürliche Zahl und sei ${}k$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl, die modulo ${}n$ ein Quadratrest ist. Zeige, dass für das Jacobi-Symbol

${}\left({\frac {k}{n}}\right)=1\,$

gilt.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert ${}1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.

Aufgabe

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen ${}n$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ derart, dass

${}a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)\,$

in ${}\mathbb {Z} /(n)$ gilt.

a)  ${}n=49$. 

b)  ${}n=75$. 

Aufgabe

Zeige für eine positive ungerade Zahl ${}n$ die Gleichung

${}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{(n-1)/2}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Menge ${}M$ der Reste modulo ${}40$ mit der Eigenschaft, dass für jede ungerade Primzahl ${}p$ gilt: ${}10$ ist ein Quadratrest modulo ${}p$ genau dann, wenn ${}p\mod 40$ zu ${}M$ gehört.

Aufgabe (5 Punkte)

Finde eine ungerade Primzahl ${}p$ mit der Eigenschaft, dass alle Zahlen  ${}a\leq 10$  Quadratreste modulo ${}p$ sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne mit Hilfe des Satz 8.2 und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {337}{1339}}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige für eine positive ungerade Zahl ${}n$ die Gleichung

${}\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige für zwei ungerade positive Zahlen ${}n$ und ${}m$ die Beziehung

${}\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{{\frac {n-1}{2}}{\frac {m-1}{2}}}\,.$