Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 9

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine Primzahl ${}p$ höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

Aufgabe *

Zeige, dass eine ganze Zahl ${}n$ genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von ${}2$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gleich ${}0$ oder ${}\geq 2$ ist.

Aufgabe

Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in diesem Diagramm die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.

Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.

Gaußsche Ebene, 1. Quadrant

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von ${}8-{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ die Restklassendarstellung

${}{\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)\,$

besitzen.

Aufgabe

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Restklassendarstellung

${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1)\,$

besitzt.

Aufgabe

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Zeige, dass der Restklassenring ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(n)$ genau ${}n^{2}$ Elemente besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring  ${}S=R/{\mathfrak {a}}$.  Zu einem Ideal  ${}I\subseteq R$  welches ${}{\mathfrak {a}}$ enthält, sei  ${}I^{\prime }=IR/{\mathfrak {a}}$  das zugehörige Ideal in ${}S$. Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

${}R/I\cong S/I^{\prime }\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Aufgabe

Bestimme mit Hilfe von Bemerkung 9.4 eine Quadratwurzel von ${}-1$ in ${}\mathbb {Z} /(41)$.

Aufgabe *

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichne ${}r(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von zwei Quadratzahlen darzustellen, d.h. ${}r(n)$ ist die Anzahl der ${}2$-Tupel

$(x_{1},x_{2})\in \mathbb {Z} ^{2}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=n.$

Beweise die Beziehung

${}r(2n)=r(n)\,.$

Zeige, dass die vorstehende Aussage nicht gilt, wenn man nur Lösungen in ${}\mathbb {N} ^{2}$ betrachtet.

Aufgabe *

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichne ${}r(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. ${}r(n)$ ist die Anzahl der ${}4$-Tupel

$(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {Z} ^{4}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=n.$

Es sei ${}u$ eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung

${}r(2u)=3r(u)\,.$

Zeige, dass die vorstehende Aussage nicht gilt, wenn man nur Lösungen in ${}\mathbb {N} ^{4}$ betrachtet.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl, die modulo ${}8$ den Rest ${}7$ besitzt. Zeige, dass ${}n$ nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.

Aufgabe

Bestimme für jede natürliche Zahl  ${}n\leq 30$,  ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.

Aufgabe

Bestimme für jede natürliche Zahl  ${}n\leq 10$,  auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der ${}4$-Tupel

$(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {Z} ^{4}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=n.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Zahlen ${}n$ zwischen ${}155$ und ${}159$, ob ${}n$ die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde für alle Zehnerpotenzen ${}\geq 10$ eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung der Gaußschen Zahl ${}39+52{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung ${}r$ Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt ${}n$ maximal?

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: In ${}\mathbb {Z} /(p)$, wobei ${}p$ eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl mit  ${}p=1\mod 4$  und sei  ${}p=x^{2}+y^{2}$  eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten,  ${}x,y\in \mathbb {N}$.  Es sei ${}k$ ein ungerader Teiler von ${}x$. Zeige: Dann ist ${}k$ ein Quadratrest modulo ${}p$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass man die ${}239$ als eine Summe von neun Kubikzahlen darstellen kann, aber nicht als eine Summe von acht Kubikzahlen.