Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Liste der Hauptsätze

???: Prim und irreduzibel in Integritätsbereichen

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

 

???: Euklidischer Bereich ist ...

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Lemma von Bezout (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler ${}d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit ${}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der ${}1$.

 

???: Lemma von Euklid (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$.

Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

 

???: Prim und irreduzibel (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

 

???: Hauptidealbereich ist ...

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit ${}a\neq 0$ darstellen als ein Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten ${}p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung ${}a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$, wobei ${}u$ eine Einheit ist und die ${}p_{i}$ Repräsentanten sind.

 

???: Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

 

???: Einheiten modulo n

Genau dann ist ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ (d.h. ${}a$ repräsentiert eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$), wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

 

???: Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper,

wenn ${}n$ eine Primzahl ist.

 

???: Kleiner Fermat

Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

${}a^{p}\equiv a\mod p\,.$

Anders ausgedrückt: ${}a^{p}-a$ ist durch ${}p$ teilbar.

 

???: Der Satz von Wilson

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist ${}(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$.

 

???: Der chinesische Restsatz

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl ${}a<n$, die die simultanen Kongruenzen

$a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$

löst.

 

???: Endliche multiplikative Untergruppe in einem Körper

Es sei ${}U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ${}K$.

Dann ist ${}U$ zyklisch.

 

???: Einheitengruppe in Restklassenkörpern von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.

Es gibt also Elemente ${}g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen ${}g^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

 

???: Einheitengruppe modulo Primzahlpotenz

Es sei ${}p\geq 3$ eine Primzahl und ${}r\geq 1$.

Dann ist die Einheitengruppe

${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$

des Restklassenrings ${}\mathbb {Z} /(p^{r})$ zyklisch.

 

???: Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$ mit zyklischer Einheitengruppe

Die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist genau dann zyklisch, wenn

${}n=1,2,4,p^{s},2p^{s}\,$

ist, wobei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}s\geq 1$ ist.

 

???: Wann ist ${}-1$ ein Quadrat?

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.

Für ${}p=2$ ist ${}-1=1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(2)$.

Für ${}p=1\mod 4$ ist ${}-1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Für ${}p=3\mod 4$ ist ${}-1$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.