Kurs Diskussion:Mathematik II (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 32

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Hallo an alle!

Ich möchte gerne ein paar interessante Aufgaben vorschlagen, viel Spaß damit!

Julio.-


Aufgabe A. Man zeige, falls eine konvergente Reihe von Elementen aus dem Intervall ist, und eine Riemann-integrierbare Funktion auf ist, dann ist die Reihe absolut konvergent.

Aufgabe B. Sei eine Riemann-integrierbare Funktion auf mit für alle . Man zeige: Ist stetig in einem Punkt und , dann gilt.

Aufgabe C. Man zeige, dass die Gleichung eine einzige Lösung im Intervall hat.

Aufgabe D. Sei die Funktion definiert durch , falls ; , falls . Man definiert nun die Funktion auf durch . Beweisen Sie, dass stetig in ist, und dass sie nicht ableitbar in ist. Besitzt eine Stammfunktion im Intervall ?

Aufgabe E. Seien eine Riemann-integrierbare Funktion und die Funktion definiert durch , falls ; , falls . Man zeige: (i) Ist in stetig, dann ist stetig auf . (ii) Ist stetig in und ableitbar in , dann ist ableitbar in ; ferner gilt .

Aufgabe F. Für jedes betrachtet man die Funktion , die in durch , falls ; , falls oder . (i) Beweisen Sie: Für alle existiert der Limes . Den bezeichnen wir: . (ii) Berechnen Sie und . Was können Sie darüber sagen?

Aufgabe G. Sei eine stetige Funktion so dass in . Man zeige: Aus folgt .

Aufgabe H. Sei stetig mit für jede in stetige Funktion . Man zeige, dass .

Aufgabe I. Sei stetig mit für jede stetige Funktion so dass . Man zeige, dass .

Aufgabe J. Seien und zwei stetige Funktionen in mit der Eigenschaft: . Beweisen Sie: Es existiert so dass .

Aufgabe K. Seien und zwei stetige Funktionen in so dass für alle . Beweisen Sie: Es existiert mit der Eigenschaft: .