Kurs Diskussion:Mathematik II (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 32

Hallo an alle!

Ich möchte gerne ein paar interessante Aufgaben vorschlagen, viel Spaß damit!

Julio.-

Aufgabe A. Man zeige, falls $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine konvergente Reihe von Elementen aus dem Intervall $[0,1]$ ist, und $f$ eine Riemann-integrierbare Funktion auf $[0,1]$ ist, dann ist die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{a_{n}}f(x)dx$ absolut konvergent.

Aufgabe B. Sei $f$ eine Riemann-integrierbare Funktion auf $[a,b]$ mit $f(x)\geq 0$ für alle $x\in [a,b]$. Man zeige: Ist $f$ stetig in einem Punkt $c\in [a,b]$ und $f(c)>0$, dann gilt$\int _{a}^{b}f(x)dx>0$.

Aufgabe C. Man zeige, dass die Gleichung $\int _{0}^{x}e^{t^{2}}dt=1$ eine einzige Lösung im Intervall $[0,1]$ hat.

Aufgabe D. Sei $f$ die Funktion definiert durch $f(x)=1$, falls $0\leq x\leq 1$; $f(x)=2$, falls $1<x\leq 3$. Man definiert nun die Funktion $F$ auf $[0,3]$ durch $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt$. Beweisen Sie, dass $F$ stetig in $[0,3]$ ist, und dass sie nicht ableitbar in $x=1$ ist. Besitzt $F$ eine Stammfunktion im Intervall $[0,3]$?

Aufgabe E. Seien $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion und $F:[0,1]\to \mathbb {R}$ die Funktion definiert durch $F(x)=f(0)$, falls $x=0$; $F(x)={\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)dt$, falls $0<x\leq 1$. Man zeige: (i) Ist $f$ in $0$ stetig, dann ist $F$ stetig auf $[0,1]$. (ii) Ist $f$ stetig in $[0,1]$ und ableitbar in $0$, dann ist $F$ ableitbar in $[0,1]$; ferner gilt $f^{\prime }(0)=2F^{\prime }(0)$.

Aufgabe F. Für jedes $n\in \mathbb {N}$ betrachtet man die Funktion $f_{n}$, die in $[0,1]$ durch $f_{n}(x)=n$, falls $0<x<1/n$; $f_{n}(x)=0$, falls $1/n<x\leq 1$ oder $x=0$. (i) Beweisen Sie: Für alle $x\in [0,1]$ existiert der Limes $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$. Den bezeichnen wir: $f(x)$. (ii) Berechnen Sie $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)dx$ und $\int _{0}^{1}f(x)dx$. Was können Sie darüber sagen?

Aufgabe G. Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion so dass $f(x)\geq 0$ in $[a,b]$. Man zeige: Aus $\int _{a}^{b}f(x)dx=0$ folgt $f=0$.

Aufgabe H. Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig mit $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$ für jede in $[a,b]$stetige Funktion $g$. Man zeige, dass $f=0$.

Aufgabe I. Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig mit $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$ für jede stetige Funktion $g$ so dass $g(a)=g(b)=0$. Man zeige, dass $f=0$.

Aufgabe J. Seien $f$ und $g$ zwei stetige Funktionen in $[a,b]$ mit der Eigenschaft: $\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}g(x)dx$. Beweisen Sie: Es existiert $x\in [a,b]$ so dass $f(x)=g(x)$.

Aufgabe K. Seien $f$ und $g$ zwei stetige Funktionen in $[a,b]$ so dass $g(x)\geq 0$ für alle $x\in [a,b]$. Beweisen Sie: Es existiert $x\in [a,b]$ mit der Eigenschaft: $\int _{a}^{b}f(t)g(t)dt=f(x)\int _{a}^{b}g(t)dt$.