Kurs Diskussion:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 3

Für den Satz: Sei R ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim, wenn es irreduzibel ist. gibt es noch folgenden (einfacheren) Beweis, der ohne das Lemma von Euklid auskommt: Der erste Teil wurde ja schon bewiesen. Sei nun die Nichteinheit p irreduzibel, dann folgt aus p = a * b, dass (o. B. d. A.) a eine Einheit ist. Damit sind (definitionsgemäß) p und b assoziiert. Nach Lemma 1 in Vorlesung 2 gilt dann im Integritätsbereich auch (p) = (b) und aus (b) $\subseteq$ (p) folgt (ebenfalls nach diesem Lemma) dass p | b, also ist p Primelement (nach Definition). Gerdhuebner 19:56, 16. Jan. 2009 (CET)

Hallo Gerdhuebner,

Nein, das ist nicht richtig. Die Definition von Primelement (in einem kommutativen Ring) heißt, dass wenn ${}p$ ein Produkt ${}ab$ teilt, dass es dann einen Faktor teilt. Der Beweis muss also mit ${}pc=ab$ anfangen (übrigens kommt in deiner Argumentation die Voraussetzung Hauptidealbereich gar nicht vor, für beliebige Integritätsbereiche stimmt es aber nicht).--Bocardodarapti 10:51, 17. Jan. 2009 (CET)

Hallo Bocardodarapti, ja stimmt, das war Quatsch - Danke für den Hinweis.-- Gerdhuebner 18:10, 17. Jan. 2009 (CET)

Teilbeweis für Satz 3.8

Sei ${}R$ ein Hauptidealbereich, ${}p$ $\in$ ${}R$, $p\neq 0$ und ${}p$ ein Primelement. Dann ist ${}R/(p)$ ein Körper.

Beweis:

${}R/(p)$ ist ein Ring, der sog. Restklassenring (oder Quotientenring oder Faktorring) modulo (p). Die Elemente des Restklassenringes sind Mengen, die sog. Restklassen.

Für jedes $a\in R$ ist ${\overline {a}}\in R/(p)$ definiert durch ${\overline {a}}:=\lbrace a+n\cdot p|n\in R\rbrace$, was einen kanonischen Epimorphismus $R\rightarrow R/(p)$ darstellt.

Die Multiplikation in ${}R/(p)$ ist folgendermaßen definiert (die Addition ist analog definiert):

${\overline {a}}\cdot {\overline {b}}:=\lbrace a\cdot b+n\cdot p|n\in R\rbrace$

Das Einselement in ${}R/(p)$ ist ${\overline {1}}=\lbrace 1+n\cdot p\rbrace$ dabei ist ${}1$ das Einselement in ${}R$

Das Nullelement in ${}R/(p)$ ist ${\overline {0}}=\lbrace n\cdot p\rbrace$

Zu zeigen:

$\forall {\overline {a}}\in R/(p):{\overline {a}}\neq {\overline {0}}\ \exists \ {\overline {b}}\in R/(p):{\overline {a}}\cdot {\overline {b}}={\overline {1}}$

Die Bedingung ${\overline {a}}\neq {\overline {0}}$ bedeutet in ${}R$, dass ${}p$ kein Teiler von ${}a$ ist. Damit gilt für das Ideal ${}(a,p)$ wie in der Vorlesung argumentiert: ${}(a,p)=(1)=R$

Daher gibt es $b,m\in R:a\cdot b+m\cdot p=1$

und somit ${\overline {a}}\cdot {\overline {b}}=\lbrace 1-m\cdot p+n\cdot p\rbrace ={\overline {1}}\ \Box$ --Gerdhuebner 21:00, 20. Jan. 2009 (CET)