Kurven/Morphismus/Grad/Kurzübersicht/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}C$ und ${}D$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow D$

eine endliche Abbildung. Dann nennt man den Grad der zugehörigen Körpererweiterung der Funktionenkörper ${}Q(D)\subseteq Q(C)$ den Grad von ${}\varphi$.

Satz

Es seien ${}C$ und ${}D$ irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow D$

eine endliche Abbildung vom Grad ${}n$.

Dann besteht für jeden Punkt ${}P\in D$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(P)$ aus höchstens ${}n$ Punkten. Wenn man die Punkte mit Multiplizitäten zählt, so handelt es sich jeweils um genau ${}n$ Punkte.

Beweis

Wir können die affine Situation betrachten, es seien also ${}R,S$ integre normale ${}K$-Algebren vom endlichen Typ der Dimension ${}1$ und ${}R\subseteq S$ sei eine endliche Erweiterung. Es besitzt ${}Q(R)\subseteq Q(S)$ den Grad ${}n$. Der Punkt ${}P$ entspreche dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$. Aufgrund der Glattheit ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring und daher ist ${}S_{\mathfrak {p}}=S\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}$ eine freie (da torsionsfrei) ${}R_{\mathfrak {p}}$-Algebra von Rang ${}n$. Daher ist auch der Faserring über ${}{\mathfrak {p}}$, also

${}S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}S\,,$

eine freie ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Algebra vom Rang ${}n$, also ein ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Vektorraum der Vektorraumdimension ${}n$. Die schematheoretische Faser hat also die Vektorraumdimension ${}n$ (das ist mit Multiplizität) gemeint. Dieser Ring hat die Form ${}A_{1}\times \cdots \times A_{m}$, wobei die ${}A_{j}$ ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Algebren mit einem einzigen maximalen Ideal sind. Daher ist ${}m\leq n$.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper,

${}f={\frac {g}{h}}\in K(X)\,$

eine nichtkonstante rationale Funktion in gekürzter Darstellung.

Dann ist der Grad der zugehörigen Körpererweiterung

$K(U)\longrightarrow K(X),\,U\longmapsto f(X),$

gleich dem Maximum der Grade von ${}g$ und ${}h$.

Beweis

Wir geben einen geometrischen Beweis und können annehmen, dass ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist. Wir betrachten die zugehörige rationale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,x\longmapsto f(x),$

die außerhalb der Nullstellen von ${}h$ definiert ist. Es geht nach Fakt um die Anzahl der Fasern dieser Abbildung. Zu ${}a\in K$ ist die Faser durch ${}{\left\{x\in K\mid {\frac {g(x)}{h(x)}}=a\right\}}$ bzw. durch ${}{\left\{x\in K\mid g(x)-ah(x)\right\}}=0$ charakterisiert. Dies ist (eventuell mit einzelnen Ausnahmen für ${}a$) eine polynomiale Bedingung für ${}x$, deren Grad das Maximum der Grade von ${}g$ und ${}h$ ist.

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