Kurze exakte Sequenz/Modul/Duale Sequenz/Aufgabe/Lösung

Aus der Surjektivität

$M\longrightarrow N$

folgt mit Fakt direkt, dass

${N}^{*}\longrightarrow {M}^{*}$

injektiv ist, da eine ${}R$-lineare Abbildung

$N\longrightarrow R,$

deren Verknüpfung mit ${}M\rightarrow N$ die Nullabbildung ist, selbst die Nullabbildung sein muss.

Da die Hintereinanderschaltung ${}L\rightarrow M\rightarrow N$ die Nullabbildung ist, folgt dies auch für die zugehörige duale Abbildung.

Wir müssen also noch zeigen, dass eine Linearform  ${}f\in {M}^{*}$,  die auf ${}0$ in ${}{L}^{*}$ abbildet, von einer Dualform aus ${}{N}^{*}$ herrührt. Die Bedingung besagt, dass die Einschränkung auf den Untermodul  ${}L\subseteq M$  die Nullabbildung ist. Das bedeutet, dass ${}L$ zum Kern von ${}f$ gehört. Nach dem Homomorphiesatz gibt es einen induzierten Homomorphismus

${\tilde {f}}\colon M/L\longrightarrow R,$

dessen Verknüpfung mit

$M\longrightarrow M/L$

gleich ${}f$ ist. Wegen  ${}M/L\cong N$ 

ist dies die Behauptung.

Zur gelösten Aufgabe