Kurze exakte Sequenz/Modul/Duale Sequenz/Aufgabe/Lösung

Aus der Surjektivität

$M⟶N$

folgt mit Fakt direkt, dass

$N^{\ast }⟶M^{\ast }$

injektiv ist, da eine $R$-lineare Abbildung

$N⟶R,$

deren Verknüpfung mit $M\to N$ die Nullabbildung ist, selbst die Nullabbildung sein muss.

Da die Hintereinanderschaltung $L\to M\to N$ die Nullabbildung ist, folgt dies auch für die zugehörige duale Abbildung.

Wir müssen also noch zeigen, dass eine Linearform  $f\in M^{\ast }$,  die auf $0$ in $L^{\ast }$ abbildet, von einer Dualform aus $N^{\ast }$ herrührt. Die Bedingung besagt, dass die Einschränkung auf den Untermodul  $L\subseteq M$  die Nullabbildung ist. Das bedeutet, dass $L$ zum Kern von $f$ gehört. Nach dem Homomorphiesatz gibt es einen induzierten Homomorphismus

$\tilde{f}:M/L⟶R,$

dessen Verknüpfung mit

$M⟶M/L$

gleich $f$ ist. Wegen  $M/L\cong N$ 

ist dies die Behauptung.

Zur gelösten Aufgabe