Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke

Einleitung

Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen.

Rechteck

Das Rechteck $R:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte $z_{1},z_{2},z_{4},z_{3}$ definiert, wobei die Seiten des Rechtecks $R$ parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung:

$z_{1}=a_{1}+i\cdot b_{1}$ und $z_{2}=a_{2}+i\cdot b_{1}$
$z_{3}=a_{1}+i\cdot b_{2}$ und $z_{4}=a_{2}+i\cdot b_{2}$

Veranschaulichung

Veranschaulichung

Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen.

Flächenstammfunktion und Potenzreihen

Sei $f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}\cdot (z-z_{0})^{n}$ die lokale Potenzreihendarstellung von $f$ auf einer Kreisscheibe $D_{r}(z_{0})$ mit ${\overline {D_{r}(z_{0})}}\in G$ . Die Flächenstammfunktion $F_{\Box }:D_{r}(z_{0})\to \mathbb {C}$ in dem Entwicklungspunkt $z_{0}$ ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. $F_{\Box }''(z)=f(z)$ .

Bemerkung - Flächenstammfunktion

Die Flächenstammfunktion ist mit $F_{\Box }''(z)=f(z)$ also die Stammfunktion der Stammfunktion einer holomorphen Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ auf Kreisscheiben $D_{r}(z_{0})$ mit ${\overline {D_{r}(z_{0})}}\in G$ , wobei die Koeffizienten von $(z-z_{0})^{0}$ und $(z-z_{0})^{1}$ frei gewählt werden (siehe Differenzsatz für Stammfunktionen).

Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion

Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf ${\overline {D_{r}(z_{0})}}\in G$ kann auch in diesem Fall die Taylorentwicklung wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die Flächenstammfunktion hat z.B. die folgende Standarddarstellung:

F_{\Box }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{(n+2)!}}\cdot (z-z_{0})^{n+2}

Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes

Mit der obigen Definition der Flächenstammfunktion als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl $f(z_{0})=0$ als auch $F(z_{0})=0$ . Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. $z_{0}:=z_{1}$ ) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der Flächenstammfunktion $F_{\Box }(z_{1})=0$ , denn es gilt:

F_{\Box }(z_{1})={\underset {\langle z_{0},z_{1}\rangle }{\int }}f(\xi )\,d\xi ={\underset {\langle z_{1},z_{1}\rangle }{\int }}f(\xi )\,d\xi =0

Im Allgemeinen kann $z_{0}\in G$ beliegig gewählt werden, wenn $G$ einfach zusammenhängend ist.

Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen

Reelle Integral über eine Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ kann man als komplexes Wegintegral $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma (t)=t$ und $\gamma \,'(t)=1$ betrachten, wenn die Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ holomorph ist und eine Stammfunktion $F$ auf dem Gebiet $G\supset [a,b]$ besitzt.

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma \,'(t)\,dt=\int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a)

Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem Flächenintegrale für komplexe orientierte Flächen mit dem Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen verallgemeinert.

Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt

Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der Gaußschen Zahlenebene. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem Gebiet $G$ liegen.

Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen

Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie Stammfunktionen als Wegintegrale darstellt werden können (siehe Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen).

Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, wobei das Rechteck $R:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ mit $R\subset G$ durch die orientierte Fläche $\gamma _{_{R}}:[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma _{_{R}}(t_{1},t_{2}):=t_{1}+i\cdot t_{2}$ definiert.

\iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z=\int _{a_{2}}^{b_{2}}\left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(\gamma _{_{R}}(t_{1},t_{2}))\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{R}}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\right)\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{R}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}

Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten

Die Orientierung wird durch den Gradienten von $\gamma _{_{R}}$ in einem Punkt $z:=\gamma _{_{R}}(t_{1},t_{2})\in R$ beschrieben. Dieses Gradient $Grad(\gamma _{_{R}})(t_{1},t_{2})=(1,i)\in \mathbb {C} ^{2}$ ist für alle $(t_{1},t_{2})\in [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]$ konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck.

Animation - orientierte Fläche für Rechtecke

Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine orientierte Fläche kann man den Gradienten $Grad(\gamma _{_{R}})(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C} ^{2}$ wieder vektoriell an der Stelle $z:=\gamma _{_{R}}(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$ im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen.

Lemma - Rechteckintegral über Flächenstammfunktionen

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion mit der Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ . Das Rechteck $R:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ mit $R\subset G$ wird durch die orientierte Fläche $\gamma _{_{R}}:[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma _{_{R}}(t_{1},t_{2}):=t_{1}+i\cdot t_{2}$ definiert. Die Eckpunkten $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\in G$ sind als $z_{1}:=a_{1}+i\cdot a_{2}$ , $z_{2}:=b_{1}+i\cdot a_{2}$ , $z_{3}:=a_{1}+i\cdot b_{2}$ , und $z_{4}:=a_{2}+i\cdot b_{2}$ festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck $\gamma _{_{R}}$ gilt dann:

\iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z=F_{\Box }(z_{4})-F_{\Box }(z_{3})-F_{\Box }(z_{2})+F_{\Box }(z_{1})

Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion

Die Vorzeichen für Flächenstammfunktion für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet.

Beweis - Lemma für Rechteckintegrale

Da $f:G\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion besitzt $f$ über die Holomorphiekriterien lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck $R:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ mit $R\subset G$ ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung $U\supset R$ eine Stammfunktion $F$ (siehe Stammfunktion als Wegintegral). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die orientierte Fläche $\gamma _{_{R}}:[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma _{_{R}}(t_{1},t_{2}):=t_{1}+i\cdot t_{2}$ definiert. Die Eckpunkten $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\in G$ sind als $z_{1}:=a_{1}+i\cdot a_{2}$ , $z_{2}:=b_{1}+i\cdot a_{2}$ , $z_{3}:=a_{1}+i\cdot b_{2}$ , und $z_{4}:=a_{2}+i\cdot b_{2}$ festgelegt.

Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral

Für die holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ ist das Flächenintegral über das Rechteck $R:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ mit $R\subset G$ durch die orientierte Fläche $\gamma _{_{R}}:[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma _{_{R}}(t_{1},t_{2}):=t_{1}+i\cdot t_{2}$ definiert.

\iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z=\int _{a_{2}}^{b_{2}}\left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(\gamma _{_{R}}(t_{1},t_{2}))\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{R}}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\right)\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{R}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}

Die partiellen Ableitungen von $\gamma _{_{R}}(t_{1},t_{2})$ ist für die orientierte Fläche nach $t_{1}$ ist mit ${\tfrac {d\gamma _{_{R}}}{dt_{1}}}(t_{1},t_{2})=1$ konstant.

Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals

Eine holomorphe Funktion besitzt auf einfach zusammenhängenden Gebieten (also inbesondere konvexen Mengen) eine Stammfunktion. Sei $F$ nun eine Stammfunktion von $f$ auf einer konvexen offenen Menge $U\subset G$ , die das Rechteck $R\subset U$ enthält. Wenn $f$ eine Stammfunktion $F$ besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von $[a_{1},b_{1}]$ nach $U$ und es gilt:

\iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z=\int _{a_{2}}^{b_{2}}{\bigg (}F{\big (}\gamma _{_{R}}(b_{1},t_{2}){\big )}-F{\big (}\gamma _{_{R}}(a_{1},t_{2}){\big )}{\bigg )}\cdot {\tfrac {d\gamma _{_{R}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})\,\,\,dt_{2}

Die partiellen Ableitungen ${\tfrac {d\gamma _{_{R}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})=i$ ist ebenfalls konstant.

Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung

Da auch die Stammfunktion $F$ auf der konvexen offenen Menge $U$ mit $R\subset U\subset G$ eine holomorphe Funktion ist, existiert auch für $F$ eine Stammfunktion $F_{\Box }$ . Die holomorphe Funktion $F_{\Box }:U\to \mathbb {C}$ ist eine Flächenstammfunktion und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle $z\in U$ :

(F_{\Box })''(z)=F'(z)=f(z)

Nach dem Differenzsatz für Stammfunktionen unterscheiden sich zwei beliebige Flächenstammfunktionen um einen affinen Term $p(z)=a_{1}\cdot z+a_{0}$ mit $a_{0},a_{1}\in \mathbb {C}$ .

Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals

Mit der Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ als Stammfunktion 2. Ordnung von $f$ auf einer konvexen offenen Menge $U\subset G$ , kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck $R\subset U$ für die holomorphe Funktion $F$ berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von $[a_{2},b_{2}]$ nach $U$ . Wenn man die partielle Ableitung ${\tfrac {d\gamma _{_{R}}}{dt_{2}}}(t_{1},t_{2})=i$ in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{R}}}\!\!\!\!f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \int _{a_{2}}^{b_{2}}\!\!\!\!F{\big (}\gamma _{_{R}}(b_{1},t_{2}){\big )}\cdot i\,\,dt_{2}-\int _{a_{2}}^{b_{2}}\!\!\!\!F{\big (}\gamma _{_{R}}(a_{1},t_{2}){\big )}\cdot i\,\,dt_{2}\\&=&\displaystyle {\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(b_{1},t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}-{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(a_{1},t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}\\\end{array}}

Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks

Durch die Differenz der Flächenstammfunktionen $F_{\Box }$ wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von $f$ in den Eckpunkten des Rechtecke $R$ aus. Damit erhält man:

{\begin{array}{lc}{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(b_{1},t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}-{\bigg [}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(a_{1},t_{2}){\big )}{\bigg ]}_{a_{2}}^{b_{2}}&=\\\displaystyle {\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(b_{1},b_{2}){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(b_{1},a_{2}){\big )}{\bigg )}-{\bigg (}F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(a_{1},b_{2}){\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\gamma _{_{R}}(a_{1},a_{2}){\big )}{\bigg )}&=\\F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{R}}(b_{1},b_{2})} _{=:z_{4}}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{R}}(b_{1},a_{2})} _{=:z_{2}}{\big )}-F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{R}}(a_{1},b_{2})} _{=:z_{3}}{\big )}+F_{_{\Box }}{\big (}\underbrace {\gamma _{_{R}}(a_{1},a_{2})} _{=:z_{1}}{\big )}\end{array}}

Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme

Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck $\gamma _{_{R}}$ die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ in den Eckpunkten $z_{1},z_{2},z_{3}$ und $z_{4}$ von $R$ :

\iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z=F_{\Box }(z_{4})-F_{\Box }(z_{3})-F_{\Box }(z_{2})+F_{\Box }(z_{1})

$q.e.d.$

Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme

In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von $f$ einem Rechteck $R$ betrachtet, wobei $R$ durch den Integrationweg $\langle z_{1},z_{2},z_{4},z_{3}\rangle$ berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung "Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen" auch in der zweidimensionalen Zahlenebene $\mathbb {C}$ erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ und komplexwertige Flächenintegrale über Rechtecke übertragen.

Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion

Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks $R$ zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem Gebiet $G$ liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion $F$ als Wegintegral über Konvexkombinationen ausdrücken kann.

Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck

Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck $R_{4}$ gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion $F(z_{4})$ ausgedrückt werden kann.

Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes

Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck $R$ bzgl. $f:G\to \mathbb {C}$ ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck $R_{4}$ der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck $R_{3}$ subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion $F(z_{3})$ ausgedrückt werden kann.

Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes

Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck $R_{4}$ auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck $R_{2}$ makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion $F(z_{2})$ ausgedrückt werden kann.

Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes

Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck $R_{1}$ zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck $R$ muss daher der über die Stammfunktion $F(z_{1})$ direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks $R_{1}$ wieder addiert werden.

Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R

Für das Gesamtintegral des Rechtecks $R$ ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe Flächenstammfunktion):

\iint _{\gamma _{_{R}}}f(z)\,d^{2}\!z=F_{\Box }(z_{4})-F_{\Box }(z_{3})-F_{\Box }(z_{2})+F_{\Box }(z_{1})

Notation - Wegintegral - Flächenintegral

Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern:

(Wegintegral) $\int _{\langle z_{1},z_{2},z_{4},z_{3}\rangle }f(z)\,dz$ über den Rand des Vierecks. Für holomorphe Funktionen $f$ ist diese Integral mit der Anwendung der Cauchy-Integralsatzes 0.
(Flächenintegral) $\iint _{R}f(z)\,d^{2}\!z=F_{\Box }(z_{4})-F_{\Box }(z_{3})-F_{\Box }(z_{2})+F_{\Box }(z_{1})$ bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der Flächenstammfunktion $F_{\Box }$ als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für holomorphe Funktionen im Allgemeinen nicht 0.

Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen

Man betrachtet die holomorphe Funktion $f(z)={\tfrac {1}{2}}z$ und ein Rechteck $R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]$ in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für $f$ mit der Flächenstammfunktion $F(z)={\tfrac {1}{3}}z^{3}$ über die Eckpunkte des Rechtecks:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{R}f(z)\,dz&=&\displaystyle F(\underbrace {2+5i} _{=z_{4}})-F(\underbrace {2+3i} _{=z_{2}})-F(\underbrace {-1+5i} _{=z_{3}})+F(\underbrace {-1+3i} _{=z_{1}})\\&=&\displaystyle -48+6i\not =0\\\end{array}}

Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks

Sei $A\in {\mathcal {B}}(G)$ eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet $G\subset \mathbb {C}$ und die Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ mit integrierbarer Realteil- $f_{1}:G\to \mathbb {R}$ und Imaginärteilfunktion $f_{2}:G\to \mathbb {R}$ für $f=f_{1}+i\cdot f_{2}$ , dann kann dann das folgende komplexes Flächenintegral als Maß $\mu _{f}(A)$ auffassen, wobei $f$ die Dichtefunktion des Lebesgue-Maßes ist.

\mu _{f}(A):=\int _{A}f(z)\,dz

Beispiel 2.1 - Dichtefunktion

Ist $R=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]\subset \mathbb {C}$ ein Rechteck mit den Eckpunkten $z_{1},z_{2},z_{4},z_{3}$ , dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks $R$ das Flächenintegral mit der konstante Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ als Dichtefunktion mit $f(z)=1$ für alle $z\in \mathbb {C}$ . Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks $R$ wird über die Flächenstammfunktion $F(z)={\tfrac {1}{2}}z^{2}$ wie folgt berechnet:

\mu _{f}(R)=\int _{R}1\,dx={\tfrac {1}{2}}\cdot (z_{4}^{2}-z_{3}^{2}-z_{2}^{2}+z_{1}^{2})

Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt

Für das konkrete achsenparallele Rechteck $R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]$ und $f(z)=1$ ist $F(z)={\tfrac {1}{2}}z^{2}$ eine mögliche Flächenstammfunktion in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für $f$ über die Eckpunkte des Rechtecks:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{R}f(z)\,dz&=&\displaystyle F(\underbrace {2+5i} _{=z_{4}})-F(\underbrace {2+3i} _{=z_{2}})-F(\underbrace {-1+5i} _{=z_{3}})+F(\underbrace {-1+3i} _{=z_{1}})\\&=&\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\big (}(-21+20i)-(-5+12i)-(-24-10i)+(-8-6i){\big )}\\&=&0+6i\\\end{array}}

Aufgabe für Studierende

Aufgabe 1: Fächenintegrale für konstante Funktionen
Aufgabe 2: Siebformel

Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen

Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck $R:=[a_{1},b_{1}]+i\cdot [a_{2},b_{2}]$ mit $a_{1}<b_{1}$ und $a_{2}<b_{2}$

für konstante Funktionen $f$ immer von 0 verschieden ist.
für Polynome $f(z)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot z^{k}$ immer ein Rechtecke $R_{f}$ existiert, für das gilt:

\int _{R_{f}}f(z)\,dz\not =0

Aufgabe 2 - Siebformel

Stellen Sie den Zusammenhang mit der Siebformel aus der Stochastik her, wobei $P$ in diesem Falle kein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion $f$ .