Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Multiplikative Gruppe/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten auf dem  ${}V=K^{n}$  die Operation der multiplikativen Gruppe ${}K^{\times }$ eines algebraisch abgeschlossenen Körpers ${}K$, die durch

$K^{\times }\times K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(t,\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(t^{a_{1}}x_{1},\,\ldots ,\,t^{a_{n}}x_{n}\right)$

zu einem fixierten Tupel  ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {Z} ^{n}$  gegeben ist.

a) Bestimme ${}V^{G}$.

b) Bestimme das ${}K^{\times }$-invariante Komplement von ${}V^{G}$.

c) Zeige, dass die Projektion

$V\longrightarrow V^{G}$

${}G$-verträglich ist.

d) Zeige, dass die Zerlegung von ${}V$ in irreduzible Untervektorräume nicht eindeutig bestimmt sein muss.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen