Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Multiplikative Gruppe/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}V^{G}=K\langle e_{i},\,a_{i}=0\rangle \,.$

Dabei ist ${}\supseteq$ direkt klar. Die andere Inklusion ist klar, da es zu jedem  ${}a\neq 0$  wegen der algebraischen Abgeschlossenheit (entscheidend ist die Unendlichkeit) ein  ${}t\in K^{\times }$  gibt mit  ${}t^{a}\neq 1$. 

b) Es ist

${}W=K\langle e_{i},\,a_{i}\neq 0\rangle \,$

ein direktes Komplement zu ${}V^{G}$. Dieser Raum ist ${}G$-invariant, da überhaupt jeder eindimensionale Raum ${}Ke_{i}$ invariant ist.

c) Zu ${}\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und ${}\left(t^{a_{1}}x_{1},\,\ldots ,\,t^{a_{n}}x_{n}\right)$ unterscheiden sich die Einträge mit  ${}a_{i}=0$  nicht und deshalb stimmt auch die Gesamtprojektion auf diese Komponenten überein.

d) Es seien beispielsweise alle  ${}a_{i}=0$  und  ${}n\geq 2$. 

Dann ist jede vollständige Zerlegung in eindimensionale Untervektorräume eine Zerlegung in irreduzible invariante Untervektorräume.

Zur gelösten Aufgabe