Lineare Abbildung/3x3/Faktorisierung/1/Aufgabe/Lösung

a) Wegen

${}{\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$

gehört ${}K\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}$ zum Kern. Da die ersten beiden Spalten linear unabhängig sind, kann der Kern nicht größer sein.

b) Es ist

$K^{3}{\stackrel {\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\end{pmatrix}}{\longrightarrow }}K^{2}{\stackrel {\begin{pmatrix}2&-1\\-2&-3\\0&3\end{pmatrix}}{\longrightarrow }}K^{3},$

es ist ja

${}{\begin{pmatrix}2&-1\\-2&-3\\0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe