Lineare Abbildung/Charakteristisches Polynom/Einführung/Textabschnitt

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Wir möchten zu einem Endomorphismus die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend.


Definition  

Zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper heißt das Polynom

das charakteristische Polynom[1] von .

Für bedeutet dies

In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring . Da wir sie aber als Elemente im Körper der rationalen Funktionen auffassen können,[2] ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in , da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur addiert und multipliziert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom. Der Grad des charakteristischen Polynoms ist und der Leitkoeffizient ist , d.h. die Gestalt ist

Es gilt die wichtige Beziehung

für jedes , siehe Aufgabe. Hier wird links die Zahl in das Polynom eingesetzt und rechts wird die Determinante von einer Matrix, die von abhängt, ausgerechnet.

Für eine lineare Abbildung

auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das charakteristische Polynom

wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der Determinantenmultiplikationssatz zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist, siehe Aufgabe.



Satz  

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Beweis  

Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist

genau dann, wenn die lineare Abbildung

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Fakt und Fakt). Dies ist nach Fakt und Fakt äquivalent zu

was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.



Beispiel  

Wir betrachten die reelle Matrix . Das charakteristische Polynom ist

Die Eigenwerte sind also (diese Eigenwerte haben wir auch in Beispiel ohne charakteristisches Polynom gefunden).



Beispiel  

Zur Matrix

ist das charakteristische Polynom gleich

Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung

die über nicht erfüllbar ist, so dass die Matrix über keine Eigenwerte besitzt. Über hingegegen gibt es die beiden Eigenwerte und . Für den Eigenraum zu muss man

bestimmen, ein Basisvektor (also ein Eigenvektor) davon ist . Analog ist



Beispiel  

Für eine obere Dreiecksmatrix

ist das charakteristische Polynom nach Fakt gleich

In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, so dass unmittelbar seine Nullstellen und damit die Eigenwerte von ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente (die nicht alle verschieden sein müssen).


  1. Manche Autoren definieren das charakteristische Polynom als Determinante von anstatt von . Dies ändert aber - und zwar nur bei ungerade - nur das Vorzeichen.
  2. heißt der Körper der rationalen Polynome; er besteht aus allen Brüchen zu Polynomen mit . Bei oder kann man diesen Körper mit der Menge der rationalen Funktionen identifizieren.