Lineare Abbildung/Kommutativer Ring/Determinante/Einführung/Textabschnitt

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung eines endlich erzeugten freien Moduls vom Rang ${}n$ in sich. Diese wird bezüglich einer Basis durch eine Matrix  ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$  beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu definieren, doch hat man hier das Problem der Wohldefiniertheit: die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine „völlig“ andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen ${}M$ und ${}N$ und der Basiswechselmatrix ${}B$ aufgrund von Fakt die Beziehung  ${}N=BMB^{-1}$.  Aufgrund des des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher

${}\det N=\det \left(BMB^{-1}\right)=(\det B)(\det M){\left(\det B^{-1}\right)}=(\det B){\left(\det B^{-1}\right)}(\det M)=\det M\,,$

sodass die folgende Definition in der Tat unabhängig von der Wahl einer Basis ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}V$ ein endlich erzeugter freier Modul über ${}R$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Modulhomomorphismus, der bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man

${}\det \varphi :=\det M\,$

die Determinante von ${}\varphi$.