Lineare Abbildung/R^3 nach R^2/Auf Basis/3/Aufgabe/Lösung

Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem

{}a{\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}-1\\-1\\6\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\-4\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}}\,.

Die Zeilenoperation ${}IV=I+4II$ führt auf

{}(IV)\,\,\,-5b-13c=-6\,

und ${}V=5III+6IV$ führt auf

{}(V)\,\,\,-88c=-21\,.

Damit ist

{}c={\frac {21}{88}}\,

und

{}b={\frac {6}{5}}-{\frac {13}{5}}c={\frac {6}{5}}-{\frac {13}{5}}\cdot {\frac {21}{88}}={\frac {528-273}{440}}={\frac {255}{440}}={\frac {51}{88}}\,

und

{}a=-b-4c+2=-{\frac {51}{88}}-4{\frac {21}{88}}+2={\frac {-51-84+176}{88}}={\frac {41}{88}}\,.

Also ist

{}{\begin{aligned}\varphi {\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}}&=\varphi {\left({\frac {41}{88}}{\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {55}{88}}{\begin{pmatrix}-1\\-1\\6\end{pmatrix}}+{\frac {21}{88}}{\begin{pmatrix}3\\-4\\-2\end{pmatrix}}\right)}\\&={\frac {1}{88}}{\left(41{\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}+55{\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}+21{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}\right)}\\&={\frac {1}{88}}{\begin{pmatrix}205-63\\41+275+42\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{88}}{\begin{pmatrix}142\\358\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{44}}{\begin{pmatrix}71\\179\end{pmatrix}}.\end{aligned}}