Lineare Abbildung/R^3 nach R^2/Auf Basis/4/Aufgabe/Lösung

$\varphi {\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}0\\3\\6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}}.$

Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0\\3\\6\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}}\,.$

Die Zeilenoperation  ${}IV=2II-III$  führt auf

${}(IV)\,\,\,5a+8c=-17\,$

und  ${}V=8I-IV$  führt auf

${}(V)\,\,\,-21a=49\,.$

Damit ist

${}a=-{\frac {49}{21}}=-{\frac {7}{3}}\,$

und

${}c=4+2a=4-2\cdot {\frac {7}{3}}=-{\frac {2}{3}}\,$

und

${}b=-{\frac {4}{3}}a-c-2={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {7}{3}}+{\frac {2}{3}}-2={\frac {28+6-18}{9}}={\frac {16}{9}}\,.$

Also ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}}&=\varphi {\left(-{\frac {7}{3}}{\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}}+{\frac {16}{9}}{\begin{pmatrix}0\\3\\6\end{pmatrix}}-{\frac {2}{3}}{\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}\right)}\\&=-{\frac {7}{3}}{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {16}{9}}{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {2}{3}}{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}-84+32+6\\21+32-24\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}-46\\29\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe