Lineare Abbildung/R^3 nach R/Auf Basis/1/Aufgabe/Lösung

Wir Lösen zuerst das Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0\\5\\-5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}}\,.$

Die Summe

${}IV=II+III\,$

ergibt die Bedingung

${}2a-3b=9\,.$

Die Differenz

${}V=2I-3IV\,$

ergibt

${}17b=-25\,.$

Also ist

${}b=-{\frac {25}{17}}\,$

und damit

${}a={\frac {1}{3}}-{\frac {4}{3}}b={\frac {1}{3}}+{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {25}{17}}={\frac {17+100}{51}}={\frac {39}{17}}\,$

und

${}c={\frac {1}{5}}b+1={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {-25}{17}}+1={\frac {-25+85}{85}}={\frac {60}{85}}={\frac {12}{17}}\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}}&=\varphi {\left({\frac {39}{17}}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}-{\frac {25}{17}}{\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}}+{\frac {12}{17}}{\begin{pmatrix}0\\5\\-5\end{pmatrix}}\right)}\\&={\frac {39}{17}}\cdot 6-{\frac {25}{17}}\cdot 7+{\frac {12}{17}}\cdot (-3)\\&={\frac {234-175-36}{17}}\\&={\frac {23}{17}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe