Lineare Abbildung/Standardbasis/(5 1 2 3)/Matrix bezüglich 1 4 und 4 2/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}\varphi {\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&1\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\14\end{pmatrix}}\,$

und

${}\varphi {\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&1\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22\\14\end{pmatrix}}\,.$

Diese Bildvektoren müssen wir bezüglich der Basis ausdrücken. Der Ansatz

${\begin{pmatrix}9\\14\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$

bzw.

$9=a+4b\,\,{\text{ und }}\,\,14=4a+2b$

führt auf

$-19=-7a$

und damit auf ${}a={\frac {19}{7}}$ und ${}b={\frac {11}{7}}$. Der Ansatz

${\begin{pmatrix}22\\14\end{pmatrix}}=c{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$

bzw.

$22=c+4d\,\,{\text{ und }}\,\,14=4c+2d$

führt auf

$-6=-7c$

und damit auf ${}c={\frac {6}{7}}$ und ${}d={\frac {37}{7}}$. Daher ist die beschreibende Matrix von ${}\varphi$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ gleich

${\begin{pmatrix}{\frac {19}{7}}&{\frac {6}{7}}\\{\frac {11}{7}}&{\frac {37}{7}}\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe