Lineare Abbildungen/K/Nur Zahlenraum/Matrizen/Einführung/Textabschnitt
Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium (jeweils in Milligramm) unterschiedliche Früchte (pro 100 Gramm) besitzen.
Frucht | Vitamin C | Calcium | Magnesium |
---|---|---|---|
Apfel | 12 | 7 | 6 |
Orange | 53 | 40 | 10 |
Traube | 4 | 12 | 8 |
Banane | 9 | 5 | 27 |
Dies führt zu einer Abbildung, die einem -Tupel , das die verarbeiteten (oder verzehrten) Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines -Tupels zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix
unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung
beschrieben werden.
Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl (abhängig von den Wünschen der Gäste) an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt Gramm Mehl, Gramm Zucker, Gramm Butter, Gramm Milch und Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt Gramm Mehl, Gramm Zucker, Gramm Butter, Gramm Milch und Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt Gramm Mehl, Gramm Zucker, Gramm Butter, Gramm Milch, Gramm Äpfel und Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel , die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl (in Kilogramm) gilt beispielsweise die Formel
Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung (bzw. die Matrix) beschrieben (wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind).
Es sei ein Körper und seien . Zu einer linearen Abbildung
heißt die -Matrix
wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, die beschreibende Matrix zu (bezüglich der Standardbasen).
Zu einer Matrix heißt die durch
gemäß Fakt definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.
Die zu einer -Matrix gehörende lineare Abbildung ist unmittelbar durch das Matrizenprodukt der Matrix mit den -Spaltentupeln gegeben, also gleich
Die -te Komponente des Ergebnisses ist ja einfach gleich .
Es sei ein Körper und seien .
Dann sind die in Definition festgelegten Abbildungen zwischen linearen Abbildungen und Matrizen invers zueinander.
Wir bezeichnen die Matrix zu einer linearen Abbildung mit und die lineare Abbildung zu einer Matrix mit . Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix
und betrachten die Matrix
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar die Einträge übereinstimmen. Es ist
Es sei nun eine lineare Abbildung, und betrachten wir
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Standardbasis übereinstimmen. Es ist
Dabei ist nach Definition von der Koeffizient die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des . Damit ist diese Summe gleich .
Die folgende Aussage erklärt, warum das Matrizenprodukt so wichtig ist.
Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien
die zugehörigen linearen Abbildungen.
Dann beschreibt das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.
Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis des nachweisen. Es ist
Dabei sind die Koeffizienten
gerade die Einträge in der Produktmatrix .