Lineare Abbildungen/K/Nur Zahlenraum/Matrizen/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium (jeweils in Milligramm) unterschiedliche Früchte (pro 100 Gramm) besitzen.

Frucht	Vitamin C	Calcium	Magnesium
Apfel	12	7	6
Orange	53	40	10
Traube	4	12	8
Banane	9	5	27

Dies führt zu einer Abbildung, die einem ${}4$-Tupel ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}$, das die verarbeiteten (oder verzehrten) Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines ${}3$-Tupels ${}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$ zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix

${\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}$

unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12x_{1}+53x_{2}+4x_{3}+9x_{4}\\7x_{1}+40x_{2}+12x_{3}+5x_{4}\\6x_{1}+10x_{2}+8x_{3}+27x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

beschrieben werden.

Beispiel

Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl (abhängig von den Wünschen der Gäste) an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt ${}500$ Gramm Mehl, ${}200$ Gramm Zucker, ${}100$ Gramm Butter, ${}250$ Gramm Milch und ${}300$ Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt ${}300$ Gramm Mehl, ${}230$ Gramm Zucker, ${}100$ Gramm Butter, ${}100$ Gramm Milch und ${}450$ Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt ${}400$ Gramm Mehl, ${}250$ Gramm Zucker, ${}150$ Gramm Butter, ${}200$ Gramm Milch, ${}500$ Gramm Äpfel und ${}100$ Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel ${}(x,y,z)$, die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl (in Kilogramm) gilt beispielsweise die Formel

$0{,}5x+0{,}3y+0{,}4z.$

Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung (bzw. die Matrix) beschrieben (wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind).

$\mathbb {Q} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{8},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}4\\0{,}2&0{,}23&0{,}25\\0{,}1&0{,}1&0{,}15\\0{,}25&0{,}1&0{,}2\\0{,}3&0&0\\0&0{,}45&0\\0&0&0{,}5\\0&0&0{,}1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

heißt die ${}m\times n$-Matrix

${}M=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{i}$ des ${}K^{m}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ (bezüglich der Standardbasen).

Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

$e_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}$

gemäß Fakt definierte lineare Abbildung die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

Die zu einer ${}m\times n$-Matrix ${}M$ gehörende lineare Abbildung ist unmittelbar durch das Matrizenprodukt der Matrix mit den ${}n$-Spaltentupeln gegeben, also gleich

$K^{n}\longrightarrow K^{m},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$

Die ${}i$-te Komponente des Ergebnisses ist ja einfach gleich ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}$.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}m,n\in \mathbb {N}$.

Dann sind die in Definition festgelegten Abbildungen zwischen linearen Abbildungen und Matrizen invers zueinander.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Wir bezeichnen die Matrix zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ mit ${}M(\varphi )$ und die lineare Abbildung zu einer Matrix mit ${}\varphi (M)$. Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$

und betrachten die Matrix

$M(\varphi (M)).$

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar ${}(i,j)$ die Einträge übereinstimmen. Es ist

${}{\begin{aligned}(M(\varphi (M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi (M))(e_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{k=1}^{m}a_{kj}e_{k}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir

$\varphi (M(\varphi )).$

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Standardbasis übereinstimmen. Es ist

${}(\varphi (M(\varphi )))(e_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M(\varphi )_{ij})\,e_{i}\,.$

Dabei ist nach Definition von ${}M(\varphi )$ der Koeffizient ${}(M(\varphi ))_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis des ${}K^{m}$. Damit ist diese Summe gleich ${}\varphi (e_{j})$.

$\Box$

 

Die folgende Aussage erklärt, warum das Matrizenprodukt so wichtig ist.

Satz

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und es seien

$K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$

die zugehörigen linearen Abbildungen.

Dann beschreibt das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.

Beweis

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{p}$ des ${}K^{p}$ nachweisen. Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(A\circ B\right)}{\left(e_{k}\right)}&=A(B(e_{k}))\\&=A{\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}e_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}e_{i}.\end{aligned}}$

Dabei sind die Koeffizienten

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gerade die Einträge in der Produktmatrix ${}A\circ B$.

$\Box$