Lineare Abbildungen/K/Nur Zahlenraum/Matrizen/Einführung/Textabschnitt

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Beispiel  

Fruit salad (1).jpg

Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium (jeweils in Milligramm) unterschiedliche Früchte (pro 100 Gramm) besitzen.

Frucht Vitamin C Calcium Magnesium
Apfel 12 7 6
Orange 53 40 10
Traube 4 12 8
Banane 9 5 27

Dies führt zu einer Abbildung, die einem -Tupel , das die verarbeiteten (oder verzehrten) Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines -Tupels zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix

unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung

beschrieben werden.



Beispiel  

Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl (abhängig von den Wünschen der Gäste) an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt Gramm Mehl, Gramm Zucker, Gramm Butter, Gramm Milch und Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt Gramm Mehl, Gramm Zucker, Gramm Butter, Gramm Milch und Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt Gramm Mehl, Gramm Zucker, Gramm Butter, Gramm Milch, Gramm Äpfel und Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel , die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl (in Kilogramm) gilt beispielsweise die Formel

Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung (bzw. die Matrix) beschrieben (wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind).



Definition  

Es sei ein Körper und seien . Zu einer linearen Abbildung

heißt die -Matrix

wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, die beschreibende Matrix zu (bezüglich der Standardbasen).

Zu einer Matrix heißt die durch

gemäß Fakt definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.

Die zu einer -Matrix gehörende lineare Abbildung ist unmittelbar durch das Matrizenprodukt der Matrix mit den -Spaltentupeln gegeben, also gleich

Die -te Komponente des Ergebnisses ist ja einfach gleich .



Satz  

Es sei ein Körper und seien .

Dann sind die in Definition festgelegten Abbildungen zwischen linearen Abbildungen und Matrizen invers zueinander.

Beweis  


Die folgende Aussage erklärt, warum das Matrizenprodukt so wichtig ist.



Satz  

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen.

Dann beschreibt das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.

Beweis  

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis des nachweisen. Es ist

Dabei sind die Koeffizienten

gerade die Einträge in der Produktmatrix .