Lineare Algebra/Endomorphismus/V f zyklisch gdw Charakteristisches Polynom gleich Minimalpolynom/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn $V_f$ zyklisch ist bedeutet das, dass es ein $v\in V_f$ gibt derart, dass die $f^i(v),i\in \mathbb{N}$ den Vektorraum $V$ erzeugen. ${\mu }_f$ definiert aber eine minimale lineare Abhängigkeit der $f^i$, also bilden

$v,f(v),\dots ,f^{n-1}(v)$

eine

$K$-Basis von $V$, wenn $n$ der Grad von ${\mu }_f$ ist. Da die $K$-Dimension von $V$ aber auch der Grad von ${\chi }_f$ ist und ${\chi }_f$ nach dem Satz von Cayley-Hamilton ein Vielfaches von ${\mu }_f$ ist, müssen die beiden Polynome aus Gradgründen übereinstimmen.

Es sei umgekehrt ${\mu }_f={\chi }_f$. Es sei ${\mu }_f=P_1^{e_1}\cdots P_k^{e_k}$ die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms. Weil ${\mu }_f$ das Minimalpolynom ist, gibt es zu jedem Faktor $P_i,i\in \{1,\dots ,k\}$, einen Vektor $x_i\in V$, der von ${\mu }_f$ annulliert wird, nicht jedoch von ${{\mu }_f}^{\prime }=\frac{{\mu }_f}{P_i}$. Andernfalls wäre nämlich ${{\mu }_f}^{\prime }$ ein annullierendes Polynom von kleinerem Grad.

Für $x=x_1+\cdots +x_k$ gilt dann ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}V={\mathrm{Ann}}_{K[X]}(x)$. Wir behaupten nun, dass $V_f$ als

$K[X]$-Modul von $x$ erzeugt wird. Denn wegen ${\mu }_f={\chi }_f$ ist die Dimension von $V$ gleich dem Grad $n$ von ${\mu }_f$.

$x,f(x),\dots ,f^{n-1}(x)$

ist daher ein

$K$-Erzeugendensystem von $V$, womit $V_f$ zyklisch ist.

Zur bewiesenen Aussage