Lineare Algebra/Endomorphismus/V f zyklisch gdw Charakteristisches Polynom gleich Minimalpolynom/Fakt/Beweis

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Beweis
Wenn zyklisch ist bedeutet das, dass es ein gibt derart, dass die den Vektorraum erzeugen. definiert aber eine minimale lineare Abhängigkeit der , also bilden
eine

-Basis von , wenn der Grad von ist. Da die -Dimension von aber auch der Grad von ist und nach dem Satz von Cayley-Hamilton ein Vielfaches von ist, müssen die beiden Polynome aus Gradgründen übereinstimmen.

Sei umgekehrt . Sei die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms. Weil das Minimalpolynom ist, gibt es zu jedem Faktor , einen Vektor , der von annulliert wird, nicht jedoch von . Andernfalls wäre nämlich ein annullierendes Polynom von kleinerem Grad.

Für gilt dann . Wir behaupten nun, dass als

-Modul von erzeugt wird. Denn wegen ist die Dimension von gleich dem Grad von .
ist daher ein

-Erzeugendensystem von , womit zyklisch ist.