Lineare Algebra/Endomorphismus/V f zyklisch gdw Charakteristisches Polynom gleich Minimalpolynom/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}V_{f}$ zyklisch ist bedeutet das, dass es ein ${}v\in V_{f}$ gibt derart, dass die ${}f^{i}(v),i\in \mathbb {N}$ den Vektorraum ${}V$ erzeugen. ${}\mu _{f}$ definiert aber eine minimale lineare Abhängigkeit der ${}f^{i}$, also bilden

$v,f(v),\ldots ,f^{n-1}(v)$

eine

${}K$-Basis von ${}V$, wenn ${}n$ der Grad von ${}\mu _{f}$ ist. Da die ${}K$-Dimension von ${}V$ aber auch der Grad von ${}\chi _{f}$ ist und ${}\chi _{f}$ nach dem Satz von Cayley-Hamilton ein Vielfaches von ${}\mu _{f}$ ist, müssen die beiden Polynome aus Gradgründen übereinstimmen.

Es sei umgekehrt ${}\mu _{f}=\chi _{f}$. Es sei ${}\mu _{f}=P_{1}^{e_{1}}\cdots P_{k}^{e_{k}}$ die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms. Weil ${}\mu _{f}$ das Minimalpolynom ist, gibt es zu jedem Faktor ${}P_{i},i\in \{1,\ldots ,k\}$, einen Vektor ${}x_{i}\in V$, der von ${}\mu _{f}$ annulliert wird, nicht jedoch von ${}\mu _{f}'={\frac {\mu _{f}}{P_{i}}}$. Andernfalls wäre nämlich ${}\mu _{f}'$ ein annullierendes Polynom von kleinerem Grad.

Für ${}x=x_{1}+\cdots +x_{k}$ gilt dann ${}\operatorname {Ann} _{K[X]}V=\operatorname {Ann} _{K[X]}(x)$. Wir behaupten nun, dass ${}V_{f}$ als

${}K[X]$-Modul von ${}x$ erzeugt wird. Denn wegen ${}\mu _{f}=\chi _{f}$ ist die Dimension von ${}V$ gleich dem Grad ${}n$ von ${}\mu _{f}$.

$x,f(x),\ldots ,f^{n-1}(x)$

ist daher ein

${}K$-Erzeugendensystem von ${}V$, womit ${}V_{f}$ zyklisch ist.

Zur bewiesenen Aussage