Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}u,v\in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen. Dann ist

   ${}\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

2. Zu einer Linearform

   $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

   gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor  ${}w\in V$  mit

   ${}f(v)=\left\langle w,v\right\rangle \,.$

3. Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}H$ ist ein Normalteiler von ${}G$.
   2. Es ist  ${}xhx^{-1}\in H$  für alle ${}x\in G$ und ${}h\in H$.
   3. ${}H$ ist invariant unter jedem inneren Automorphismus von ${}G$.

Zur gelösten Aufgabe