Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/y' ist y durch t^2-1 + t-1/y(2) ist 5/Beispiel

Wir betrachten für ${}t>1$ die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}-1}}+t-1\,$

mit der Anfangsbedingung ${}y(2)=5$. Hier ist also ${}h(t)=t-1$ die Störfunktion und

${}y'={\frac {y}{t^{2}-1}}\,$

ist die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung. Eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{t^{2}-1}}$ ist

${}G(t)={\frac {1}{2}}\ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\ln(t+1)={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {t-1}{t+1}}\right)}=\ln {\left({\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}\right)}\,.$

Daher ist nach Fakt (bzw. nach Beispiel)

${}a(t)={\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}\,$

eine Lösung zur homogenen Differentialgleichung. Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung brauchen wir eine Stammfunktion zu

${}{\frac {h(t)}{a(t)}}={\frac {\sqrt {t+1}}{\sqrt {t-1}}}\cdot (t-1)={\sqrt {t+1}}\cdot {\sqrt {t-1}}={\sqrt {t^{2}-1}}\,.$

Eine Stammfunktion dazu ist

${}c(t)={\frac {1}{2}}{\left(t{\sqrt {t^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,t\,\right)}\,.$

Die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung haben also die Gestalt

${\sqrt {\frac {t-1}{t+1}}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}{\left(t{\sqrt {t^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,t\,\right)}+c\right)}$

Die Anfangsbedingung führt zu

${}5={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}{\left(2{\sqrt {3}}-\,\operatorname {arcosh} \,2\,\right)}+c_{0}\right)}=1-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {arcosh} \,2\,+c_{0}{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,.$

Also ist

${}c_{0}=4{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arcosh} \,2\,\,$

und die Lösung des Anfangswertproblems ist

$y(t)={\sqrt {\frac {t-1}{t+1}}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}{\left(t{\sqrt {t^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,t\,\right)}+4{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arcosh} \,2\,\right)}\,.$