Lineares Differentialgleichungssystem/Lösungsraum/1 -3 4 1/Aufgabe/Kommentar

Es handelt sich hierbei um ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ${}v'=Mv$ . Dank Fakt wissen wir, dass Lösungen allein durch Untersuchung der Systemmatrix ${}M$, also mit Hilfe der linearen Algebra gefunden werden können. Haben wir einen Eigenwert ${}\lambda$ von ${}M$ mit zugehörigem Eigenvektor ${}u$, so löst ${}v(t)=ce^{\lambda t}u$ das Differentialgleichungssystem, wobei ${}c$ eine unbestimmte Konstante ist. Dies ist nur eine Lösung und da kein Anfangswert vorgegeben ist, gibt es unendlich viele weitere Funktionen, die das Differentialgleichungssystem erfüllen (allein durch verschiedene Wahl von ${}c$). Um den gesamten Lösungsraum beschreiben zu können, müssen alle Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren von ${}M$ berechnet werden. Dies ist eine gute Gelegenheit entsprechende Inhalte aus dem vorherigen Kurs zu wiederholen. Beispiel zeigt noch einmal das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix.

Es ergeben sich für unsere Matrix zwei komplexe Eigenwerte mit zwei verschiedenen Eigenvektoren (Eigenvektoren sind nur bis auf skalare Vielfache eindeutig). Der gesamte Lösungsraum ist schließlich wegen Fakt

durch die Linearkombinationen der Einzellösungen zu den jeweiligen Eigenvektoren gegeben.

Zur kommentierten Aufgabe