Lineares Gleichungssystem/n Variablen/Lösungsraum ist (a 1,...,a n)/Aufgabe/Lösung

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Man beachte, dass der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ein affiner Unterraum der Form ist, wobei eine spezielle Lösung ist, also gilt. Im Falle dieser Aufgabe sucht man eine Matrix , sodass diese genau den durch den Vektor aufgespannten Unterraum (hier eine Gerade!) besitzt. Nach der Vorüberlegung kann wegen der hier speziellen Form der Lösungsmenge nur ein Element aus dem Kern von sein und wir können ohne Einschränkung, wählen. Wählen wir , so ist die (eindimensionale) Lösungsmenge also genau der Kern von . Nach der Dimensionsformel für lineare Abbildungen gilt

da linear ist. Aus Dimensionsgründen muss gelten. Da die Spalten von nun aufspannen, sind -viele davon linear unabhängig. Daher genügt es, eine Matrix mit mit dem von aufgespannten Unterraum als . Da der Vektor nicht der Nullvektor ist, existieren linear unabhängige zu orthogonale Vektoren (siehe unten für Details!). Das bedeutet, dass für . Wählt man die als -te Zeile von (), so gilt für alle , womit das lineare Gleichungssystem den geforderten Lösungsraum besitzt.

Die Zeilen von können wir so wählen, dass für zwei aufeinanderfolgenden Einträge und von für das Skalarprodukt stets für geeignete gilt. Zur Konstruktion: Vorerst wählen wir und anschließend den -ten und den -ten Eintrag und von geeignet; es sind drei mögliche Fälle für zwei aufeinanderfolgende Einträge von möglich. Die Vektoren für können wie folgt gewählt werden:

1. Fall:

Sind und beide von Null verschieden, so wählt man als und als .

2. Fall:

Sind und beide Null, so wählt man und beiden von Null verschieden, bspw. beide .

3. Fall:

Ist genau einer der beiden Einträge von und von Null verschieden, so wählt man, falls dies ist, und von Null verschieden, bspw. . Falls aber gilt, so wählt man den und von Null verschieden, bspw. .


Da alle anderen Einträge von Null sind, erkennt man leicht die Gültigkeit von für . Die lineare Unabhängigkeit von liest man direkt der Matrix mit den Zeilen ab, da diese (wenn man sich als Zeile eine Nullzeile hinzudenkt) eine obere Dreiecksmatrix, keine der Zeilen ein Nullvektor ist und keine zwei aufeinanderfolgenden Zeilen und identisch bzw. Vielfache voneinander sein können, wobei letzteres unter Beachtung der obigen drei Fälle leicht verifiziert werden kann.

Alternativ überlegt man sich unter Beachtung der drei Fälle, dass keine Spalte von eine Nullspalte ist und jeder Vektor aus dem als Linearkombination von den Spalten von dargestellt werden kann, womit, wegen der Surjekivität von aus der Dimensionsformel folgt. Nach Konstruktion ist und aus Dimensionsgründen ist der von aufgespannte Unterraum genau , also die Lösungsmenge von .