Linearkombination/Vektor in (4 1 1), (-2 1 -2)/Aufgabe/Lösung

Wir brauchen eine Lösung für die Vektorgleichung

${}{\begin{pmatrix}198\\-15\\114\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}}\,.$

Die zweite und die dritte Komponente führen auf das lineare GLeichungssystem

$I\,\,a+b=-15,$

$II\,\,a-2b=114.$

Die Differenz ${}I-II$ führt auf

${}3b=-129\,.$

Also ist

${}b=-43\,$

und damit

${}a=-15+43=28\,.$

In der Tat ist

${}28{\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}}-43{\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}28\cdot 4-43\cdot (-2)\\-15\\114\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}198\\-15\\114\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe