Lokal beschränkt

Einführung

In dieser Lerneinheit werden wir den Begriff "lokal beschränkter topologischer Vektorraum" erläutern und Beispiele dafür angeben. Lokal beschränkte topologische Vektorräume ${\mathcal {P}}$ sind verallgemeinert normierte Vektorräume in der Funktionalanalysis und spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und Physik.

Definition - lokal beschränkter topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum $(V,{\mathcal {T}})$ mit der Topologie über einem Körper $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ oder $\mathbb {K} =\mathbb {C}$), heißt lokal beschränkt, wenn es eine beschränkte Nullumgebung $U_{o}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}\!\!\left(0_{_{V}}\right)$, sodass der mit einer Topologie ausgestattet ist, so dass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation stetig sind.

Definition: p-Norm

Sei ${\textstyle V}$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$ und $0<p\leq 1$. Ein Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|:V\longrightarrow \mathbb {K} }$ heißt $p$-Norm auf ${\textstyle V}$ mit ${\textstyle p}$ als Konkavitätsexponent, falls ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ folgende Bedingungen erfüllt:

• (PN1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V}:{\big (}\left\|x\right\|=0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,x=0_{_{V}}{\big )}}$
• (PN2) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|=|\lambda |^{p}\cdot \left\|x\right\|}$
• (PN3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x,y\in V}:\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|}$

Bemerkung - Konkavitätsexponent

Für $p\geq 1$ kann man ein $p$-Norm auch zu einer Norm machen, indem man die Norm $\left\|\cdot \right\|_{\ast }$ wie folgt definert:

$\left\|x\right\|_{\ast }:=\left\|x\right\|^{\frac {1}{p}}={\sqrt[{p}]{\left\|x\right\|}}$

Nur für $p\geq 1$ bleibt beim Ziehen der $p$-ten Wurzel auch die Dreiecksungleichung in $(PN3)$ erhalten.

Bemerkung - Topologischer Vektoraum

Mit der durch die $p$-Norm $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ definierten Topologie wird $(V,\|\cdot \|)$ zu einem topologischer Vektorraum.

• Mit (PN1) können die Vektoren in $V$ getrennt werden (siehe Hausdorff-Raum)
• Die Bedingung (PN2) ist äquivalent zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren (siehe absolut p-konvexe Mengen),
• Die Bedingung (PN3) als Dreiecksungleichung ist äquivalent zur Stetigkeit der Addition (siehe Topologisierungslemma).

Beispiele - Lokal beschränkte Vektorräume

In den folgenden Beispielen werden lokal beschränkte Vektorräume genannt:

• (Beispiel 1) lokal beschränkter Folgenraum
• (Beispiel 2) lokal beschränkter Funktionenraum

Beispiel 1 - Lokal beschränkter Folgenraum

Für $1\leq p<\infty$ ist, der folgende Folgenraum normierbar. Daher wird $0<p<1$ gewählt, damit der Folgenraum lokal beschränkt, aber nicht normierbar ist.

$\ell _{p}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty \}$

Die Menge $\ell _{p}(\mathbb {K} )$ enthält alle Folgen in $\mathbb {K}$, die absolut-p-summierbar sind.

Trennungseigenschaft - Folgenraum

Sei $a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{p}(\mathbb {K} )$ mit $\|a\|_{p}=0$, dann gilt:

$0=\|a\|_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }\underbrace {|a_{n}|^{p}} _{=0}$

Damit gilt für alle $n\in \mathbb {N}$ auch $|a_{n}|^{p}=0$ und $|a_{n}|=0$. Also ist $a=(0)_{n\in \mathbb {N} }=0_{_{V}}$ der Nullvektor in $\ell _{p}(\mathbb {K} )$

Definition - p-Norm auf Folgenraum

Man definiert die $p$-Norm über die Reihe für eine $a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{p}(\mathbb {K} )$ und für $0<p<1$:

$\|a\|_{p}:={\big \|}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\big \|}_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}$

Absolute p-Homogenität

Seien $\lambda \in \mathbb {K}$ und $a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{p}(\mathbb {K} )$ beliebig gewählt, dann gilt:

${\begin{array}{rcl}\|\lambda \cdot a\|_{p}&=&{\big \|}\lambda \cdot (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\big \|}_{p}={\big \|}(\lambda \cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\big \|}_{p}\\&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda \cdot a_{n}|^{p}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda |^{p}\cdot |a_{n}|^{p}\\&=&\displaystyle |\lambda |^{p}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}=\lambda \cdot \|a\|_{p}\\\end{array}}$

Dreiecksungleichung 1

Die Dreiecksungleichung folgt über die Verwendung der pseudokonvexen Subadditivität, die die folgende Ungleichung für ${\textstyle 0<p<1}$ und alle ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$ liefert:

$$|\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}.$$

Diese Ungleichung wird nun auf die Summanden in der Reihe angewendet.

Dreiecksungleichung 2

Seien $a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{p}(\mathbb {K} )$ und $b:=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{p}(\mathbb {K} )$ beliebig gewählt, dann gilt:

${\begin{array}{rcl}\|a+b\|_{p}&=&{\big \|}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\big \|}_{p}={\big \|}(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\big \|}_{p}\\&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}+b_{n}|^{p}\leq \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}+|b_{n}|^{p}\\&=&\|a\|_{p}+\|b\|_{p}\\\end{array}}$

Insgesamt gilt damit die Dreiecksungleichung $\|a+b\|_{p}\leq \|a\|_{p}+\|b\|_{p}$

Metrisierbarkeit

$\ell _{p}(\mathbb {K} )$ ist für $0<p<1$ zwar nicht normierbar aber nocht metrisierbar mit der folgenden Metrik:

$d_{p}((a_{n})_{n},(b_{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}-b_{n}|^{p}$

Lokalbeschränkter Funktionenraum

Sei $0<p<1$ und der Definitionsbereich $[a,b]$ macht den Raum ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$ mit der folgenden $p$-Norm

$\|f\|_{p}:=\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\,dx$

zu einem lokalbeschränkten topologischen Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Aufgabe für Studierende

• Zeigen Sie, dass der Raum $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$ mit der folgenden $p$-Norm

$\|f\|_{p}:=\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\,dx$

eine $p$-Norm auf $V$ ist und $({\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{p})$ zu einem lokalbeschränkten topologischen Vektorraum

• Zeigen Sie die Trennungseigenschaft, indem Sie aus der Existenz von eine $x_{o}\in [a,b]$ mit $|f(x_{o})|=y_{o}>0$ mit der Stetigkeit folgern, dass es ein $\delta >0$ gilt, sodass gilt insbesondere für $\textstyle \varepsilon :={\frac {y_{o}}{3}}$ und $|x_{o}-x|<\delta$:

$\varepsilon >|f(x_{o})-f(x)|\geq |f(x_{o})|-|f(x)|=y_{o}-|f(x)|$

Damit erhält man die Ungleichung

$|f(x)|>y_{o}-\varepsilon =\textstyle {\frac {2}{3}}\cdot y_{o}$

und man kann das Integral $\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx\geq (2\cdot \delta )\cdot {\big (}\textstyle {\frac {2}{3}}\cdot y_{o}{\big )}>0$ gegen den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Seitenlänge $2\cdot \delta$ und $\textstyle {\frac {2}{3}}\cdot y_{o}$ abschätzen.

• Zeigen Sie, dass der Funktionenraum mit der $p$-Norm nicht vollständig ist!

Siehe auch

• Beispiele für Vektorräume
• Hausdorff-Raum
• lokalkonvex
• pseudokonvex
• Zusammenhang - p-Halbnorm - Quasihalbnorm - Korrespondenzlemma
• Norm (Mathematik)
• p-Halbnorm
• Normen, Metriken, Topologie
• Topologisierungslemma
• Vollständigkeit

Topologische Invertierbarkeitskriterien

• ${\mathcal {B}}$-Regularität - Charakterisierung von ${\mathcal {B}}$-regulären Element in normierten topologischen Vektorräumen,
• ${\mathcal {P}}$-Regularität - Charakterisierung von ${\mathcal {P}}$-regulären Element in lokal beschränkte Topologien,

Vorlesungen

• Kurs:Funktionalanalysis
• Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien