Lokal unbeschränkt

Einleitung

In der Topologie und Funktionalanalysis, insbesondere im Kontext von topologischen Vektorräumen wird der Begriff einer lokal beschränkten Nullumgebung verwendet, den mit einer Umgebungsbasis aus pseudokonvexen Mengen kann man die Topologie durch ein System von $p$-Normen beschreiben.

Definition - Nullumgebung

Sei $(V,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Vektorraum über einem Körper $\mathbb {K}$ (meist $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$). Eine Menge $U\subseteq V$ ist eine Nullumgebung, wenn diese eine offene Menge $U_{o}\in {\mathcal {T}}$ enthält, die den Nullvektor $0_{_{V}}\in U_{o}\subseteq U$ enthält.

Definition: Lokal unbeschränkte Nullumgebung

Sei $(V,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Vektorraum über einem Körper $\mathbb {K}$ (meist $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$). Eine Nullumgebung $U$ heißt lokal unbeschränkt, wenn gilt:

${\underset {\lambda >0}{\forall }}\,\,\,{\underset {u_{1},u_{2}\in U}{\exists }}\,\,\,u_{1}+u_{2}\notin \lambda \cdot U$