Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen

Einleitung

Die Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. Damit wird es möglich, die Taylorkoeffizienten $a_{n}:={\frac {f^{(n)}(z_{o})}{n!}}$ berechnen.

Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen

Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar für $|z-z_{o}|<r$ .

f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z_{o}\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)(z-z_{o})^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{o})^{n}.

Mit der Integralformel für $f^{(n)}$ folgt sofort, dass die Koeffizienten $a_{n}$ genau die Taylor-Koeffizienten sind.

Beweis - Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen

Die Cauchy-Integralformel wird partiell nach $z$ differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf. Die $n$ -Ableitung wird in der folgenden Notation als Differentialoperator ${\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}$ notiert.

Beiweisschritt 1

Sei $U:=D_{r}(z_{o})$ , dann gilt:

{\begin{aligned}f^{(n)}|_{U}(z)&={\frac {\partial ^{n}f}{\partial z^{n}}}|_{U}(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\cdot {\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f(\zeta )\underbrace {{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}{\frac {1}{\zeta -z}}} _{n!/(\zeta -z)^{1+n}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{1+n}}}\mathrm {d} \zeta \end{aligned}}

Beweisschritt 2 - Cauchy-Kern

Entwicklung von ${\frac {1}{\zeta -z}}$ in der Cauchy-Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt (Cauchy-Kern)

{\frac {1}{1-\underbrace {\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}} _{=:q}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{{\bigg (}\underbrace {\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}} _{=q}{\bigg )}}^{n}

Dabei gilt $|q|=\left|{\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}\right|<1$ wegen $r=|\zeta -z_{o}|>|z-z_{o}|$ , da $\zeta$ auf dem Kreisrand liegt und $z$ im Inneren des Kreisrandes.

Beweisschritt 3 - Cauchy-Kern - Taylorreihe

{\begin{aligned}f|_{U}(z)&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}-(z-z_{o})}}\mathrm {d} \zeta \\&{=}{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}}}\mathrm {d} \zeta \,\\&{\overset {|{\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}|<1}{=}}{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{o}}{\zeta -z_{o}}}\right)^{n}\mathrm {d} \zeta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial D_{r}(z_{o})}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{o})^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)} _{a_{n}}(z-z_{o})^{n}\end{aligned}}

Beweisschritt 4 - Koeffizientenberechnung - Taylorreihe

Da für $|z-z_{o}|<|\zeta -z_{o}|=r$ die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Taylorkoeffizienten im Entwicklungspunkt $z_{o}$ sind damit: