Lokaler noetherscher Ring/Einbettungsdimension/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal . Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für die Einbettungsdimension von , geschrieben



Lemma  

Es sei ein noetherscher lokaler Ring.

Dann ist die Einbettungsdimension gleich

Beweis  

Dies folgt sofort aus dem Lemma von Nakayama angewandt auf das Ideal und den endlich erzeugten -Modul .



Lemma  

Es sei ein noetherscher kommutativer Ring und ein maximales Ideal. Es sei die Lokalisierung an mit dem maximalen Ideal .

Dann ist

Insbesondere ist die Einbettungsdimension der Lokalisierung gleich .

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.



Satz  

In einem noetherschen lokalen Ring gilt

Beweis  

Die Einbettungsdimension von ist die minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals . Es sei also

Dann ist nach Fakt die Höhe von höchstens gleich , und diese ist die Dimension von .