Lokaler noetherscher Ring/Einbettungsdimension/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal . Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für die Einbettungsdimension von , geschrieben
Lemma
Beweis
Dies folgt sofort aus dem Lemma von Nakayama angewandt auf das Ideal und den endlich erzeugten -Modul .
Lemma
Es sei ein noetherscher kommutativer Ring und ein maximales Ideal. Es sei die Lokalisierung an mit dem maximalen Ideal .
Dann ist
Insbesondere ist die Einbettungsdimension der Lokalisierung gleich .
Beweis
Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
Satz
In einem noetherschen lokalen Ring gilt
Beweis
Die Einbettungsdimension von ist die minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals . Es sei also
Dann ist nach Fakt die Höhe von höchstens gleich , und diese ist die Dimension von .