Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für jede messbare Menge  $T\in 𝒜$  ist $(T\cap M_n)\uparrow T$ eine Ausschöpfung von $T$, sodass es nach Fakt  (5) genügt, die Gleichheit

${\mu }_1(T\cap M_n)={\mu }_2(T\cap M_n)$

für alle  $T\in 𝒜$  und alle  $n\in \mathbb{N}$  zu zeigen. Es sei $n$ fixiert. Wir betrachten das Mengensystem

${𝒟}_n=\{T\in 𝒜\mid {\mu }_1(T\cap M_n)={\mu }_2(T\cap M_n)\}$

und wir wollen zeigen, dass dies ganz $𝒜$ ist. Da $ℰ$ durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge  $E\in ℰ$  zu ${𝒟}_n$. Wir behaupten, dass ${𝒟}_n$ ein Dynkin-System ist. Offenbar ist  $M\in {𝒟}_n$.  Seien  $S\subseteq T$  Teilmengen, die zu ${𝒟}_n$ gehören. Dann ist

$\begin{array}{cc}{\mu }_1((T\setminus S)\cap M_n)& ={\mu }_1((T\cap M_n)\setminus (S\cap M_n))\\ & ={\mu }_1(T\cap M_n)-{\mu }_1(S\cap M_n)\\ & ={\mu }_2(T\cap M_n)-{\mu }_2(S\cap M_n)\\ & ={\mu }_2((T\cap M_n)\setminus (S\cap M_n))\\ & ={\mu }_2((T\setminus S)\cap M_n),\end{array}$

sodass auch $T\setminus S$ zu ${𝒟}_n$ gehört. Es sei schließlich $T_i$, $i\in I$, eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Teilmengen aus ${𝒟}_n$, und sei

$T=\bigcup _{i\in I}{T}_i.$

Dann ist

$\begin{array}{cc}{\mu }_1(T\cap M_n)& ={\mu }_1(\bigcup _{i\in I}(T_i\cap M_n))\\ & =\sum _{i\in I}{\mu }_1(T_i\cap M_n)\\ & =\sum _{i\in I}{\mu }_2(T_i\cap M_n)\\ & ={\mu }_2\left(\bigcup _{i\in I}(T_i\cap M_n)\right)\\ & ={\mu }_2(T\cap M_n),\end{array}$

sodass auch $T$ zu ${𝒟}_n$ gehört.
Damit ist ${𝒟}_n$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem $ℰ$ enthält. Nach Fakt ist daher  $𝒜\subseteq {𝒟}_n$, 

und es gilt Gleichheit.

Zur gelösten Aufgabe