Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Vektorbündel/Motivation/Bemerkung

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Tangentialbündel ${}p\colon TM\rightarrow M$. Zu einem Kartengebiet  ${}U\subseteq M$  und einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

gibt es nach Fakt eine Homöomorphie

$T(\alpha )\colon TM{|}_{U}\cong TU\longrightarrow TV\cong V\times \mathbb {R} ^{n},$

die für jeden Basispunkt  ${}P\in U$  in der zweiten Komponente linear ist. Für eine weitere Karte

$\alpha '\colon U'\longrightarrow V'$

ist die Übergangsabbildung

$TV{|}_{\alpha (U\cap U')}\cong \alpha (U\cap U')\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow TV'{|}_{\alpha '(U\cap U')}\cong \alpha '(U\cap U')\times \mathbb {R} ^{n}$

linear in den Fasern. Über die Homöomorphismen  ${}U\cong V$  erhält man auch direkt Homöomorphismen

${}TM{|}_{U}\cong TU\cong U\times \mathbb {R} ^{n}\,$

über ${}U$ und zugehörige Übergangsabbildungen

$(U\cap U')\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow (U\cap U')\times \mathbb {R} ^{n},$

die bezüglich ${}\mathbb {R} ^{n}$ linear sind.