Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Leibnizregel/Fakt/Beweis

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Beweis

Beide Seiten sind lokal in , wir können also annehmen, dass ein triviales Bündel (mit einem -Vektorraum ) ist. Es seien konstante Basisschnitte von , d.h. ist konstant gleich einem Vektor , und diese Vektoren bilden eine Basis von . Wenn die Gleichheit für diese (und beliebige ) gezeigt ist, so folgt sie allgemein. Man kann jeden Schnitt in eindeutig als mit Koeffizientenfunktionen schreiben. Damit gilt unter Verwendung der -Linearität der beiden Seiten und der Leibnizregel für die konstanten Schnitte die Beziehung

Sei also nun ein Schnitt, der konstant gleich ist. Sei . Wegen können wir weiter annehmen, dass ist. Dann ist und wir müssen nur noch den vorderen Summanden betrachten. Der Tangentialraum von in ist gleich , und da der Nullschnitt horizontal ist, ist diese Zerlegung auch die Zerlegung in Horizontal- und Vertikalraum. Die vertikale Ableitung im Punkt ist die Gesamtabbildung

und da konstant ist, ist dies gleich .