Matrix/-1 -1 1 0/C/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ${}M$ ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X+1&1\\-1&X\end{pmatrix}}\\&=(X+1)X+1\\&=X^{2}+X+1.\end{aligned}}$

Die Nullstellen davon sind

${}x_{1,2}=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,,$

dies sind also die Eigenwerte. Der Kern von

${}{\begin{pmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}+1&1\\-1&{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&1\\-1&{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\frac {1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\\-1\end{pmatrix}}$ und der Kern von

${}{\begin{pmatrix}{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}+1&1\\-1&{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&1\\-1&{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\\-1\end{pmatrix}}$, dies sind die Eigenräume.

Zur gelösten Aufgabe