Matrix/-1 -1 1 0/C/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix $M$ ist

$\begin{array}{cc}{\chi }_M& =det\left(\begin{array}{cc}X+1& 1\\ -1& X\end{array}\right)\\ & =(X+1)X+1\\ & =X^2+X+1.\end{array}$

Die Nullstellen davon sind

$x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2},$

dies sind also die Eigenwerte. Der Kern von

$\left(\begin{array}{cc}\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1& 1\\ -1& \frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}& 1\\ -1& \frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\end{array}\right)$

ist $ℂ\left(\begin{array}{c}\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\\ -1\end{array}\right)$ und der Kern von

$\left(\begin{array}{cc}\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1& 1\\ -1& \frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}& 1\\ -1& \frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\end{array}\right)$

ist $ℂ\left(\begin{array}{c}\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\\ -1\end{array}\right)$, dies sind die Eigenräume.

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