Matrix/2x2/R/Diagonalisierbar und nebendiagonalisierbar/Aufgabe/Lösung

a) Die Identität wird bezüglich jeder Basis durch die Einheitsmatrix beschrieben, insbesondere nie durch eine Nebendiagonalmatrix.

b) Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},$

die in Nebendiagonalform ist. Es ist ${}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}-1$, die Matrix ist also diagonalisierbar.

c) Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},$

die in Nebendiagonalform ist. Das charakteristische Polynom ist ${}X^{2}+1$, das hat reell keine Nullstellen und dami ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

d) Wir betrachten eine Drehung um ${}30$ Grad, diese ist nicht diagonalisierbar. Nehmen wir an, sie wäre nebendiagonalisierbar, und eine beschreibende Matrix wäre

${\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}.$

Wegen

${}{\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ab&0\\0&ab\end{pmatrix}}\,$

ist die Hintereinanderausführung der Matrix mit sich selbst diagonalisierbar. Das ist aber die Drehung um den doppelten Winkel, also um ${}60$ Grad, diese ist aber auch nicht diagonalisierbar.

Zur gelösten Aufgabe