Matrix/3x3/Ähnlich/4 Nullen/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist, so kann man ${}\varphi$ auf jordansche Normalform bringen, und darin sind der Eintrag rechts oben und die drei Einträge unterhalb der Diagonalen gleich ${}0$.

Wenn es keinen nichttrivialen ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum gibt, so sei  ${}u\neq 0$.  Dann bilden die Vektoren ${}u,\varphi (u),\varphi ^{2}(u)$ eine Basis. Bezüglich dieser Basis wird ${}\varphi$ durch eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}0&0&x\\1&0&y\\0&1&z\end{pmatrix}}$

beschrieben.

Es gibt also einen nichttrivialen invarianten Untervektorraum. Wenn es einen eindimensionalen invarianten Untervektorraum gibt, also einen Eigenvektor, so gibt es nach Fakt auch einen zweidimensionalen invarianten Untervektorraum. Gehen wir also davon aus, dass es einen zweidimensionalen Untervektorraum ${}U$ gibt. Wenn ${}U$ die Basis ${}u,v$ besitzt, und ${}u,v,w$ eine Basis von ${}K^{3}$ ist, so besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}a&b&x\\c&d&y\\0&0&z\end{pmatrix}}.$

Dies bedeutet dann aber wiederum (charakteristisches Polynom), dass ${}z$ ein Eigenwert ist, wozu es auch einen Eigenvektor ${}w'$ gibt. Wenn  ${}w'\in U$  ist, so haben wir eine ${}\varphi$-invariante Fahne und damit ist ${}\varphi$ nach Fakt trigonalisierbar. Wenn  ${}w'\notin U$  ist, so ist

${}K^{3}=U\oplus Kw'\,$

eine direkte Summenzerlegung in invariante Räume und eine entsprechende Matrix besitzt die Form

${\begin{pmatrix}a&b&0\\c&d&0\\0&0&z\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe