Matrix/4x4/Zyklischer Vektor/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}^{2}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}^{3}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}^{4}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}\,.$

b) Es ist

${}v+M^{2}v={\begin{pmatrix}2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}\,,$

${}Mv+M^{3}v={\begin{pmatrix}2\\-2\\0\\0\end{pmatrix}}\,,$

${}v-M^{2}v={\begin{pmatrix}0\\0\\4\\0\end{pmatrix}}\,$

und

${}Mv-M^{3}v={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\end{pmatrix}}\,.$

Da dies eine Basis ist, ist auch die Ausgangsfamilie eine Basis.

c) Bezüglich der neuen Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

beschrieben.

Zur gelösten Aufgabe