Matrix/4x4/Zyklischer Vektor/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 2\end{array}\right),$

${\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)}^2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\\ 0\end{array}\right),$

${\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)}^3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ -2\end{array}\right)$

und

${\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)}^4\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right).$

b) Es ist

$v+M^{2}v=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right),$

$Mv+M^{3}v=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 0\\ 0\end{array}\right),$

$v-M^{2}v=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

und

$Mv-M^{3}v=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 4\end{array}\right).$

Da dies eine Basis ist, ist auch die Ausgangsfamilie eine Basis.

c) Bezüglich der neuen Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

beschrieben.

Zur gelösten Aufgabe