Matrix/Jordan/4/Aufgabe/Lösung

Es ist

$N=\left(\begin{array}{ccc}4& -1& 3\\ 0& 4& -2\\ 0& 0& 4\end{array}\right)-4\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 3\\ 0& 0& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

und

$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 3\\ 0& 0& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{ccc}0& -1& 3\\ 0& 0& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

Der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ gehört nicht zum Kern von $N^2$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

$N\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 3\\ 0& 0& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right)$

und

$N^2\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Daher ist

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

$\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 0& 4& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$

vorliegt.

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