Matrix/Jordan/4/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}N={\begin{pmatrix}4&-1&3\\0&4&-2\\0&0&4\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&3\\0&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}N^{2}={\begin{pmatrix}0&-1&3\\0&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&-1&3\\0&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Der Vektor ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gehört nicht zum Kern von ${}N^{2}$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

${}N{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&3\\0&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}}\,$

und

${}N^{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

${\begin{pmatrix}4&1&0\\0&4&1\\0&0&4\end{pmatrix}}$

vorliegt.

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