Matrizen/2x2/S 3-Darstellung/Irreduzibel/Aufgabe

a) Zeige, dass die drei Matrizen

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden, die isomorph zur ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist.

b) Zeige, dass die sechs Matrizen

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&-1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\-1&-1\end{pmatrix}}

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden, die isomorph zur symmetrischen Gruppe ${}S_{3}$ ist.

c) Zeige, dass die in Teil (b) beschriebene zweidimensionale Darstellung der ${}S_{3}$ über ${}{\mathbb {C} }$ irreduzibel ist.